数制

数制是整个数字逻辑的基础，计算机只识别0，1。因此如何将我们现实生活中常用的十进制数转换为二进制，或者其他进制，以及掌握常用的几种数制是我们本篇文章的重点。

一、数制

十进制：

（1）计数符号：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.

（2）进位规则：逢十进一

（3）采用位置计数法

例：$(1917.45)_10 = 1*10^3+9*10^2+1*10^1+7*10^0+4*10^{-1}+5*10^{-2}$

二进制：

（1）计数符号：0，1.

（2）进位规则：逢二进一

（3）位置计数法

例：$(101.11)_2 = 1*2^2+0*2^1+1*2^0+1*2^{-1}+1*2^{-2}$

十六进制：

（1）计数符号：0，1，…，9，A，B，C，D，E，F.

（2）进位规则：逢十六进一

（3）位置计数法

例：$(6D.4B)_{16} = 6*16^1+D*16^0+4*16^{-1}+B*16^{-2}$

八进制：

（1）计数符号：0，1，…，6，7

（2）进位规则：逢八进一

（3）位置计数法

例：$(63.45)_8=6*8^1+3*8^0+4*8^{-1}+5*8^{-2}$

整数十进制转二进制：（除2逆取余）

例：将十进制数53转换为二进制数.

小数十进制转二进制：（乘2顺取整）

例：将十进制数0.6875转换为二进制数.

二进制转八进制和十六进制

二进制转成八进制时：以小数点为界，小数点左边往高位，小数点右边往低位，每三位为一组，不足三位的用0补充.

二进制转成十六进制时：以小数点为界，小数点左边往高位，小数点右边往低位，每四位为一组，不足四位的用0补充.

二、二进制算数运算

二进制加法：

0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 产生进位1

二、二进制算数运算

二进制加法：

0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 产生进位1

例：两个四位二进制数相加1001(9)+1011(11)=10100(20)

二进制减法：

0-0=0，1-1=0，1-0=1，10-1=1 产生借位1，并且我们认为高位总有位可借

例：两个三位二进制数相减 101-011=010

二进制乘法：

0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1

例：两个两位二进制数相乘 11*11=1001

二进制除法：

例：1001/11=11

三、二-十进制码（BCD码）

用四位二进制码来表示一位十进制数字.

常见的BCD码：8421码，5421码，2421码，余3码.

8421码

    2421码

余3码（8421码+0011）

例1：用8421BCD码表示十进制数$（73.5）_{10}$.

    7=0111，3=0011，5=0101，故$(73.5)_{10}=(01110011.0101)_{8421BCD码}$

例2：把8421BCD码01100111.01011000转换为十进制数.

    0110=6，0111=7，0101=5，1000=8，故$(01100111.01011000)_{8421BCD码}=(67.58)_{10}$

四、格雷码（Gray码）

格雷码为无权码，特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同，其余各位均相同.

三位格雷码$G_2G_1G_0$和三位二进制码$B_2B_1B_0$之间的关系：

五、奇偶校验码：具有纠错能力的编码

编码方法：在源码组的基础上增加一个码位使码组中含1的个数为奇数（称为奇校验）或偶数（称为偶校验）