概率论与数理统计(一)

公告里说好要写概率论的笔记就一定会写,那么这篇文章会讲一些比较基础的东西,概念性的比较多。

一、样本空间

一个试验若满足条件:

(1)试验可以在相同的条件下重复进行;

(2)试验的所有结果是明确可知的,并且不止一个;

(3)进行一次试验之前无法预料哪个结果会出现;

那么则称这样的试验为随机实验,记为$E$。并且,随机试验所有结果的集合,称为样本空间,记为$S$或者$Ω$.

二、随机事件

样本空间$S$的子集$A$称为随机事件$A$,简称事件$A$.当且仅当$A$中的某个样本点发生称事件$A$发生.

三、事件的关系

    1.事件的包含($A\subset B$)

A发生必然导致$B$发生,则称事件$B$包含了事件$A$,或称事件$A$是$B$的子事件,显然有$\emptyset\subset A\subset B$.

    2.事件的相等($A = B$)

若$A\subset B$且$B\subset A$,则称事件$A$与事件$B$相等.

    3.事件的和($A \bigcup B$)

事件$A$与事件$B$至少有一个发生的事件称为事件$A$与事件$B$的和或并,记作$A\bigcup B = $ $x\in A$或$x\in B$.

    4.事件的积(交)($A \bigcap B,AB$)

事件$A$与事件$B$同时发生的事件称为事件$A$与$B$的积或交.

    5.事件的差($A-B$)

若事件A发生而事件B不发生,这一事件称为事件$A$与事件$B$的差,记作$A - B =$ $x\in A$且$x\notin B$.

    6.事件的互不相容(互斥)

若事件$A$与事件$B$不能同时发生,则称事件$A$与事件$B$为互不相容事件,此时有$AB = \emptyset$.

    7.对立事件($\bar{A}$)

事件$A$与事件$B$必有一个发生且仅有一个发生,即$A \bigcup B = S$且$A\bigcap B = \emptyset$,或称他们为互逆事件,$A$的对立事件记为$\bar{A}$.对立必然互斥,互斥不一定会对立

四、事件的运算

(1)交换律 $A \bigcup B = B \bigcup A,AB = BA$

(2)结合律 $(A \bigcup B)\bigcup C = A \bigcup (B \bigcup C),(AB)C = A(BC)$

(3)分配律 $(A \bigcup B)\bigcap C = (A \bigcap C)\bigcup(B \bigcap C).$ $ (A \bigcap B)\bigcup C = (A \bigcup C)\bigcap (B\bigcup C)$

(4)差化积 $A – B = A\bar{B}$

(5)吸收律 若$A \subset B$则$A \bigcup B = B,AB = A$

(6)德摩根公式 $\bar{\bar{A} \bigcup \bar{B}} = \bar{A} \bigcap \bar{B},\bar{\bar{A} \bigcap \bar{B}} = \bar{A} \bigcup \bar{B}$.其实通俗点理解就是(补的并 = 交的补,这是老师教我们的方法,特别容易记,只要记住两头是补,中间一个交一个并就行了)

注意$\bar{AB}$与$\bar{A} \bar{B}$的区别:

    $\bar{AB}$是表示A、B不同时发生

    $\bar{A} \bar{B}$是表示A、B都不发生

    实际上两者有关系:$\bar{AB} = \bar{A} \bar{B} \bigcup A \bar{B} \bigcup \bar{A} B$

在分享一个我们老师教的口诀,如果题目说:至少有$x$个事件(不)发生,那么他的表示方法为:

至少:$\bigcup$

    $x$个事件:$\bigcup$的左右两边有几个事件

(不)发生:假设发生是$A$,那么不发生就是$\bar{A}$

举个例子,假设有$A、B、C$三个事件:

至少一个发生:$A \bigcup B \bigcup C$

至少两个不发生:$\bar{A} \bar{B} \bigcup \bar{B} \bar{C} \bigcup \bar{A} \bar{C}$

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