概率论与数理统计(二)

概率这里我就列几条性质,然后把上课老师给我们讲的做古典概型题的两种思路讲一下就带过了,后面的条件概率和贝叶斯公式才是正题。

一、概率性质

    1.P(\emptyset) = 0

    2.P(A) = 1 – P(\bar{A})

    3.(有限可加性)A_1,A_2,……两两互斥,即A_iA_j = \emptyset,i≠j,则P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)

    4.若A\subset B,则有P(B - A) = P(B) – P(A)

    5.(概率的加法公式)P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) – P(AB)

    #5.P(A\bigcup B\bigcup C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

    ##5.P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1≤i≤j<n}P(A_i A_j) + \sum_{1≤i<j<k<n}P(A_i A_j A_k) + ...+(-1)^{n-1}P(A_1 A_2...A_n)

二、古典概型(“一把抓”与“一个一个取”的区别)

若试验满足:

    1.样本空间S中样本点有限(有限性)

    2.出现每一个样本点的概率相等(等可能性)

称这种试验为等可能概型(古典概型)

用一道例题作为引子

例1:一袋中有5个球,其中3个为白球,2个为黄球,设取到每一个球的可能性相等

(1)从袋中随机取两个球,记A = {取到一白一黄},求P(A).

(2)从袋中不放回的取两个球,记B = {两个都是白球},求P(B)

其实对于第一问,可能有的人看了就会觉得,到底分不分顺序呢?黄白和白黄是不是一种情况呢?这里就涉及到“一把抓”和“一个一个取”的问题。对于“一把抓”来说,样本空间为{(黄,黄),(白黄),(白白)}。而对于“一个一个取”来说,样本空间为{(白白),(白黄),(黄白),(黄黄)}。虽然他们样本空间不同,但是概率肯定是相同的。下面我就把这两种取法的概率都算一遍

“一个一个取”

P(A) = \dfrac{C_2^1C_3^1C_2^1}{C_5^1C_4^1},仔细看这个式子,为什么多了个C_2^1?我们可以脑补出两个盒子,我们从袋子中取出来的求要放入盒子,那么我们就要挑选出,哪个盒子是放白色球的,哪个盒子是放黄色球的,分盒子的过程不就产生了C_2^1吗?分母也好理解,一个一个取,第一次取的时候是从5个中选一个,第二次是从4个中选一个.

“一把抓”

P(A) = \dfrac{C_3^1C_2^1}{C_5^2},“一把抓”是我们做题经常用的方法,直接从所有的球中摸两个出来,所以是C_5^2,从3个白球中摸一个出来C_3^1,从2个黄球中摸一个出来C_2^1.

总结一下

“一把抓”这种方式,简单粗暴,容易理解,符合我们的思维逻辑,但是受用面窄,比方说当某问题是不放回的抽取,这时“一把抓”就不适用了。而“一个一个取”这种方法什么时候都受用,利用这种方法算概率的时候,首先脑补出几个盒子,然后分盒子,分盒子的这个过程自然就会将不同的情况包含进去。

我觉得我们老师讲的很好,因为“分盒子”的思想替代了排列$A$,所以以后在做题的时候只需要用到组合C.

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