交通模型 – 元胞自动机——数学专题(一)

问题抛出:

相信各位路上的老司机都遇到过这样的怪事儿,车在路上正常的行驶着,突然遇到堵车,却发现前面根本没发生事故,也没什么其他特殊状况,令人匪夷所思。这种称为“幽灵堵车”的现象到底是什么原因造成的呢?

原理分析:

在知乎上有大神@DD YY对本问题有这比较全面的回答了,他解释这种堵车发生的原因是:当车流比较饱和的时候,实际上大家都匀速前进这个状态是非常不稳定的。只要有一点儿扰动,前方的司机变道或者踩一脚刹车,就会立即造成后方车辆依次做出连锁反应,然后形成一个虚拟的堵车点,这个堵车点会堆积大量车,然后逐渐蔓延到很远的后方。如图 这是一个交通事故的现场,造成第一辆车停下:

当这事故现场清理干净以后,后面的车仍然需要依次加速离开:

当这事故现场清理干净以后,后面的车仍然需要依次加速离开:

后方的车看到的情况就是,没有任何异常情况啊,为什么大家都停在这里。而从更宏观的角度,我们会看到路上有一个“拥堵带”,在逐渐向后方移动。取决于车辆密度,这个拥堵带有可能会越长越大,然后就永久地呆在那里,直到车辆稀少以后才会逐渐消失 根据Morris R.Flynndenn等人的研究 ,将交通模型方程比作流体流动方程,在最简单的例子中,假设一条直行单车道,所有的司机遵守相同的规则,在路上有序的行驶,当某一个位置出现阻碍时,车流开始变得不稳定,一个小小的扰动开始被放大,这个现象就是典型的幽灵堵车模型,这个不稳定的波动逐渐向后的车流传递,波动,司机被迫刹车,导致这点的交通出现拥堵,尽管整个道路的的平均密度没有发生改变。(Morris R.Flynndenn等人将这种交通波动称为“jamitons”。

Nagel-Schreckenberg 模型

元胞自动机模型是由Nagel 和Schrekenberg于1992 年提出的NS 模型[3]。NS 模型可以描述一些实际交通现象,并应用于美国联邦公路运输局的TRANSIMS 项目以及交通联机模拟系统。对于传统的司机驾驶汽车的情况采用元胞自动机的方法建立模型。

初等元胞自动机( Elementary Cellular Automata, ECA)的基本要素如下空间:一维直线上等间距的点。可为某区间上的整数点的集合。状态集:S={s1,s2} 即只有两种不同的状态。这两种不同的状态可将其分别编码为0 与 1;若用图形表示,则可对应“黑”与“白” 或者其他两种不同的颜色。邻居:取邻居半径r=1,即每个元胞最多只有“左邻右舍”两个邻居。演化规则:任意设定, 最多2^8=256种。

根据 Nagel-Schreckenberg 模型,假设车辆的运动满足以下规则。

1.当前速度是 v 。 2.如果前面没车,它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ,直到达到规定的最高限速。 3.如果前面有车,距离为d,且 d < v,那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。 4.此外,司机还会以概率 p 随机减速, 将下一秒的速度降低到 v - 1 。 5.在一条直线上,随机产生100个点,代表道路上的100辆车,另取概率 p 为 0.3

经过迭代结果:

图中,横轴代表距离(从左到右),纵轴代表时间(从上到下),因此每一行就表示下一秒的道路情况。可以看到,该模型会随机产生交通拥堵(图形上黑色聚集的部分)。这就证明了,单车道即使没有任何原因,也会产生交通堵塞。

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