小朋友学算法（6）：求幂pow函数的四种实现方式
在math.h中，声明了一个函数pow(x, n)，用于求x的n次方。 假如咱们不调用math.h中的pow函数，如何实现求x ^ n的算法呢？
一、while非递归
#include <stdio.h>
double pow1(double x, unsigned int n)
{
int res = 1;
while(n--)
{
res *= x;
}
return res;
}
int main()
{
printf("2 ^ 10 = %f\n", pow1(2, 10));
printf("5 ^ 3 = %f\n", pow1(5, 3));
printf("10 ^ 0 = %f\n", pow1(10, 0));
return 0;
}运行结果：
2 ^ 10 = 1024.000000
5 ^ 3 = 125.000000
10 ^ 0 = 1.000000二、递归方法1
#include <stdio.h>
double pow2(double x, unsigned int n)
{
if(0 == n)
{
return 1;
}
if(1 == n)
{
return x;
}
return x * pow2(x, n - 1);
}
int main()
{
printf("2 ^ 10 = %f\n", pow2(2, 10));
printf("5 ^ 3 = %f\n", pow2(5, 3));
printf("10 ^ 0 = %f\n", pow2(10, 0));
return 0;
}三、递归方法2
#include <stdio.h>
double pow3(double x, unsigned int n)
{
if(0 == n)
{
return 1;
}
if(1 == n)
{
return x;
}
if(n & 1) // 如果n是奇数
{
// 这里n/2会有余数1，所以需要再乘以一个x
return pow3(x * x, n / 2) * x;
}
else // 如果x是偶数
{
return pow3(x * x, n / 2);
}
}
int main()
{
printf("2 ^ 10 = %f\n", pow3(2, 10));
printf("5 ^ 3 = %f\n", pow3(5, 3));
printf("10 ^ 0 = %f\n", pow3(10, 0));
return 0;
}四、快速求幂算法
上面三种方法都有一个缺点，就是循环次数多，效率不高。举个例子： 3 ^ 19 = 3 * 3 * 3 * … * 3 直接乘要做18次乘法。但事实上可以这样做，先求出3的2^k次幂： 3 ^ 2 = 3 * 3 3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2) 3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4) 3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8) 再相乘： 3 ^ 19 = 3 ^ (16 + 2 + 1) = (3 ^ 16) * (3 ^ 2) * 3 这样只要做7次乘法就可以得到结果： 3 ^ 2 一次， 3 ^ 4 一次， 3 ^ 8 一次， 3 ^ 16 一次， 乘四次后得到了3 ^ 16 3 ^ 2 一次， (3 ^ 2) * 3 一次， 再乘以(3 ^ 16) 一次， 所以乘了7次得到结果。
如果幂更大的话，节省的乘法次数更多（但有可能放不下）。 即使加上一些辅助的存储和运算，也比直接乘高效得多。
我们发现，把19转为2进制数：10011，其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法：
所以就可以写出下面的代码:
#include <stdio.h>
double pow4(double x, int n)
{
double res = 1;
while (n)
{
if (n & 1) // 等价于 if (n % 2 != 0)
{
res *= x;
}
n >>= 1;
x *= x;
}
return res;
}
int main()
{
printf("2 ^ 10 = %f\n", pow4(2, 10));
printf("5 ^ 3 = %f\n", pow4(5, 3));
printf("10 ^ 0 = %f\n", pow4(10, 0));
printf("3 ^ 19 = %f\n", pow4(3, 19));
return 0;
}运行结果：
2 ^ 10 = 1024.000000
5 ^ 3 = 125.000000
10 ^ 0 = 1.000000
3 ^ 19 = 1162261467.000000五、效率比较
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
using namespace std;
#define COUNT 100000000
double pow1(double x, unsigned int n)
{
int res = 1;
while(n--)
{
res *= x;
}
return res;
}
double pow2(double x, unsigned int n)
{
if(0 == n)
{
return 1;
}
if(1 == n)
{
return x;
}
return x * pow2(x, n - 1);
}
double pow3(double x, unsigned int n)
{
if(0 == n)
{
return 1;
}
if(1 == n)
{
return x;
}
if(n & 1) // 如果n是奇数
{
// 这里n/2会有余数1，所以需要再乘以一个x
return pow3(x * x, n / 2) * x;
}
else // 如果x是偶数
{
return pow3(x * x, n / 2);
}
}
double pow4(double x, int n)
{
double result = 1;
while (n)
{
if (n & 1)
result *= x;
n >>= 1;
x *= x;
}
return result;
}
int main()
{
int startTime, endTime;
startTime = clock();
for (int i = 0; i < COUNT; i++)
{
pow(2.0, 100.0);
}
endTime = clock();
printf("调用系统函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));
startTime = clock();
for (int i = 0; i < COUNT/100; i++)
{
pow1(2.0, 100);
}
endTime = clock();
printf("调用pow1函数计算100万次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));
startTime = clock();
for (int i = 0; i < COUNT; i++)
{
pow2(2.0, 100);
}
endTime = clock();
printf("调用pow2函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));
startTime = clock();
for (int i = 0; i < COUNT; i++)
{
pow3(2.0, 100);
}
endTime = clock();
printf("调用pow3函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));
startTime = clock();
for (int i = 0; i < COUNT; i++)
{
pow4(2.0, 100);
}
endTime = clock();
printf("调用pow4函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));
return 0;
}运行结果：
调用系统函数计算1亿次，运行时间187毫秒
调用pow1函数计算100万次，运行时间7982毫秒
调用pow2函数计算1亿次，运行时间90141毫秒
调用pow3函数计算1亿次，运行时间6319毫秒
调用pow4函数计算1亿次，运行时间3243毫秒从运行结果可以看出来， 最快的是math.h提供的函数pow， 接下来依次是pow4、pow3、 pow2， 最慢的是pow1，100万次用了近8秒，1亿次至少需要几十分钟或几个小时。
六、math.h中的pow函数源码
我使用的编译器是CodeBlocks，没法查看math.h的源码。 但是我在网络上找到了微软的math.h源码 http://www.bvbcode.com/cn/z9w023j8-107349 这里有关于pow函数的实现
template<class _Ty> inline
_Ty _Pow_int(_Ty _X, int _Y)
{unsigned int _N;
if (_Y >= 0)
_N = _Y;
else
_N = -_Y;
for (_Ty _Z = _Ty(1); ; _X *= _X)
{if ((_N & 1) != 0)
_Z *= _X;
if ((_N >>= 1) == 0)
return (_Y < 0 ? _Ty(1) / _Z : _Z); }}这个实现思路跟pow4的实现思路是一致的。
七、结论
在实际编程时，可以直接调用math.h提供的pow函数； 如果在特定场合需要自己定义的话，使用pow4的方式。