科学瞎想系列之七十七 齿槽转矩是个神马鬼

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搞永磁电机的宝宝们大概都体验过永磁电机的一种特有现象，就是当一台永磁电机装配完成后，用手盘车，会有“咯噔咯噔”的咔顿感觉，这就是齿槽转矩在作祟。

1 齿槽转矩的定义及产生原因

齿槽转矩是永磁电机特有的一个概念，GB/T 2900.25-2008《电工术语 旋转电机》里有明确的定义，即：411-48-45 齿槽转矩(cogging torque）——无供电的永磁电动机由于其转子和定子有自行调整至磁阻最小位置的趋势而产生的周期性转矩。

从本质上讲，齿槽转矩是永磁体磁场与齿槽间作用力的切向分量。齿槽转矩总是试图将转子定位在某一位置，因此齿槽转矩又称定位转矩。齿槽转矩与电枢电流无关，是定转子相对位置的函数, 与极槽配合及齿槽和磁极的结构尺寸等有很大关系。

说这些可能宝宝们不大好理解，老师通俗地给宝宝们解释一下。老师曾在瞎想第六十七期《核武器是个神马鬼》中说到，任何系统都希望趋于一种低能态，即系统含有的能量越低，系统越稳定，这就是俗话说的“能坐着不站着，能躺着不坐着”，葛优躺只所以舒服，是因为那种姿势使身体处于一种“低能态”。对于一台永磁电机，当定转子装配完成后，气隙中就储存了一定的磁场能量，由于电枢开槽的原因，使得气隙磁场的储能与定转子相对位置有关，在绕组不通电的情况下，转子会自动停在一个特定的位置上，这个位置就是磁场储能最低的位置，即系统处于低能态，此位置也是磁阻最小的位置，如果此时用手盘车，你会感觉比较“费劲”，也就是说必须要输入一定的转矩，在这个盘车转矩下转子开始转动，那么盘车转矩乘以扭转的角度就是你输入到电机里的能量，气隙里的磁场储能就会增加，使系统处于一种高能态，这是一种不稳定状态，此时如果你松手停止盘车或继续盘车至磁场储能达到某一个临界值时，转子就会自动返回到原来的低能态位置或进入到下一个低能态位置。随着转子旋转一周，磁场储能会出现周期性变化，转矩也会随之发生周期变化，由此可见气隙磁场储能的大小与转子的位置角有关，即磁场储能是转子位置角的函数。之所以会出现这种情况，都是因为电枢开有齿槽惹的祸，因此把这种转矩称为齿槽转矩。根据虚位移理论，齿槽转矩就是在绕组不通电的情况下气隙磁场储能对转子位置角的偏导数。齿槽转矩的方向总是向着磁能积变小的方向。

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2 齿槽转矩的危害

2.1 齿槽转矩会引起永磁电机的转矩脉动，进而导致速度波动。

2.2 转矩脉动还会使电机产生振动和噪声，当脉动转矩的频率与电枢电流谐振频率一致时，会产生共振，势必会放大齿槽转矩的振动和噪声。

2.3 严重影响电机的定位精度和伺服性能，尤其在低速时影响更为严重。

2.4 使得电机启动困难，特别是对于永磁风力发电机，严重影响启动风速。

3 齿槽转矩的解析计算

随着计算机技术的飞速发展，各种电磁仿真软件功能极其强大，完全可以通过仿真准确地计算出齿槽转矩。对于齿槽转矩的仿真计算老师不想多啰嗦，这里只给宝宝们说一说齿槽转矩的解析计算，之所以讲解析计算，倒不是因为解析计算比仿真计算更准确，而是因为解析法概念更加明晰，影响因素更加直观。事实上解析计算由于忽略了一些次要因素，加之为了便于数学解算，进行了一些简化，结果会存在一定的误差，甚至无法解算出结果，但通过解析计算，使我们更加清楚齿槽转矩与哪些因素或结构参数的有关，以便能够更加精准地找到削弱齿槽转矩的思路和有效方法。因此本条所讲的内容不作为设计时的齿槽转矩计算方法和计算结果，只是用于当仿真出现齿槽转矩过大时，如何进行齿槽转矩优化的理论指导。根据解析法得到优化方法后，具体的优化结果，还是要采用仿真计算来得到。鉴于这一段会用到大量的数学知识，老师知道一提数学宝宝们就懵圈，因此数学差的宝宝可以直接跳过数学推导部分，只看本条最后的总结即可。

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如前所述，齿槽转矩表达式(电机内部的磁共能W相对于位置角α的偏导数)：

①

　　磁场能量可以近似认为是气隙和永磁体中的能量：

②

B²r（θ）的傅里叶分解：

③

(hm/（hm＋g(θ,α)))² 的傅里叶分解：

④

将式③、④代入式②、①，并考虑到三角函数的正交性，当两个正弦或余弦函数的频率不相等时，它们的乘积在2π范围内积分均为0，这样就只剩下了使nz/2p为整数的项，整理后齿槽转矩表达式：

⑤

　　式中：

　　Br(θ)——永磁体剩磁沿圆周方向的分布;

　　g(θ，α)——磁极中心线与齿中心线夹角为α时的有效气隙长度沿圆周反向的分布;

　　hm——永磁体充磁方向长度；

　　LFe——电枢铁心长度；

　　α——磁极中心线与齿中心线夹角；

　　P——极对数；

　　z——槽数；

　　R1——电枢外径；

　　R2——定子轭内径；

　　n——使nz/2p为整数的正数。

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以上分析可得出以下结论：

1）齿槽转矩的大小与永磁体剩磁及气隙磁导波的傅立叶变换系数Brn、Gn密切相关，而这两个系数与磁极的结构、槽型（特别是槽口）尺寸、极槽的分布、极弧系数、气隙结构等结构参数以及齿槽转矩的节次密切相关。

2）齿槽转矩的波动频率（节次）与极槽配合密切相关。

3） 只有当nz/2p为整数的Brn、Gn对齿槽转矩起作用，其余的系数不产生齿槽转矩。对此多解释一下，老师曾在瞎想系列之六十六 《电机定转子极数不同转矩会怎样》里讲过，只有当定转子极数相同时才产生转矩，极数不同转矩恒等于0！极数相等时，如果定转子磁场保持相对静止，则产生恒定转矩；如果定转子磁场有相对运动，则产生脉动转矩。极数为2p的永磁磁极会产生极数为2kp的一系列基波和谐波，而槽数为z的电枢会产生极数为nz的一系列的谐波磁阻极数，要想产生转矩，只有2kp=nz，即nz/2p为整数时产生齿槽转矩。

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4 齿槽转矩的削弱方法

鉴于齿槽转矩的大小与Gn、Brn及节次有密切关系，因此抑制齿槽转矩就应该从这三个方面采取措施。

4.1 改变电枢参数

　　改变电枢参数能改变对齿槽转矩起主要作用的Gn的幅值，进而削弱齿槽转矩。这类方法主要包括：改变槽口宽度、改变齿的形状、不等槽口宽、斜槽、在齿上开辅助槽等。采用斜槽或斜极是削弱齿槽转矩最常见的方法，也是最有效、最方便的手段，其原理是相当于把齿槽均匀分布在整个电枢表面，因此就相当于没有开齿槽，当然也就没有了齿槽转矩。理论上倾斜一个齿矩可以完全消除齿槽转矩，但实际上由于加工精度、端部影响等因素仍不能完全消除。其它方法，只要通过合理的设计对齿槽转矩的削弱效果同样非常显著，不再赘述。

4.2 改变磁极参数

　　改变磁极参数的方法是通过改变对齿槽转矩起作用的Brn的幅值，达到削弱齿槽转矩的目的。这类方法有：改变磁极的极弧系数、采用不等厚永磁体、磁极偏移、斜极、磁极分段、不等极弧系数组合和采用不等极弧系数等。理论和实践均表明，当永磁磁极宽度为整数个定子齿距时可有效抑制齿槽转矩。其它方法可参照专业书籍予以合理设计，不再赘述。

4.3 合理选择槽数和极数

极槽配合的选择是永磁电机设计的重要内容，该方法的目的在于通过合理选择电枢槽数和极数，改变对齿槽转矩起主要作用的Gn的次数和大小，从而削弱齿槽转矩。齿槽转矩的节次越高，Gn越小，齿槽转矩幅值也越小。

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以上是从方向上指出了削弱齿槽转矩所采取的技术途径，具体设计时应该结合具体项目采取相应的具体方法，如前所述，解析法只是一种理论上的指导，采取具体方法后的效果还需要仿真计算验证。那就是宝宝们的拿手戏了，在这方面老师属文盲水平，还得向宝宝们多学习！