科学瞎想系列之七十九 永磁电机（2）

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上一期讲了永磁电机的基本概念和主要特点，今天老师就说说永磁电机的电磁转矩。 1 电磁转矩的形成 永磁电机的电磁转矩有两种，一种称为永磁转矩，它是由定子磁场与转子永磁磁场相互作用产生的转矩；另一种叫做磁阻转矩，它是因转子直轴和交轴磁阻（或电感）不相等（即Ld≠Lq）引起的转矩。 1.1 永磁转矩的形成 我们以典型结构的两极永磁同步电机为例，转子上装有永磁体，定子上嵌放有三相绕组。在定子三相绕组中通有三相交流电流时就会产生一个旋转的磁场（磁势），这个旋转磁势的转速取决于所通电流的频率，磁势大小取决于电流的幅值，而电流的初相角决定了旋转磁势的初始位置。如图1a所示，如果调整电流的初相角使定子旋转磁势与转子永磁体的磁势对齐，并与转子同步旋转时，根据磁铁同性相斥异性相吸的道理，转子就只受径向力的作用，力矩为0，不产生转矩，这种状态称之为空载状态。此时如果在轴上带上机械负载，转子就会因受负载转矩的作用而滞后定子磁势一个角度，就会造成气隙磁场发生扭曲，吸力就出现一个切向分量，这个切向力对转轴中心的力矩就是电磁转矩，此时是定子磁场牵引着转子磁场旋转，定子必须输入一定的电功率，转子输出机械功率，我们称之为电动状态，如图1b；同理，如果用原动机把转子加速，使转子超前定子一定的角度，同样会产生一个转子牵引定子磁场的电磁转矩，此时原动机必须给转子输入机械功率，定子会输出电功率，称这种状态为发电状态，如图1c。由此可见，形成永磁转矩有三个充分必要条件：一是必须有一个定子磁场，它是由定子三相绕组通电产生的；二是有一个转子磁场，它是由永磁体产生的；三是定转子磁场必须错开一定的角度，这个角度被称为转矩角（简称矩角）β。只有同时满足了这三个条件才会产生永磁转矩。不难理解随着定转子磁场拉开的角度β变化，转矩也会相应变化，β变化一周（一对极的电角度0～2π）转矩也变化一个周期。

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为了便于理解，老师给宝宝们打个比方：说！一个男宝宝（定子的N极）和一个女宝宝（转子的S极），他们用一条猴皮筋红绳互相牵引（吸引）着在一个圆型操场内跑圈，如果他们并排跑，则谁也不扯谁，所以他们之间很平淡，也就没有魔力的传递（没有转矩），这种状态就是空载状态；如果女宝宝撒个娇矜持一下腻歪两步，则两人就会拉开一定的距离差（相对操场圆心就是错开了一个角度），猴皮筋就会拉长，于是距离就产生了“美”，一股爱情的力量噼里啪啦油然而生，男宝宝（定子磁场）用他那充满电火花的大手拉着女宝宝（转子永磁体）进入美妙的电动工况；反之如果野蛮的女宝宝主动快跑两步，与男宝宝拉开一定距离，就变成了女吸引男，那男宝宝就会更加鸡冻地跟随着野蛮女友进入“放电”（发电）工况。总之距离就会产生了“美”！“美”就是转矩！显然男宝宝在超越转子女宝宝一圈的范围内，距离也由近及远再由远及近地变化一次，由此产生的“美”也会变化一次，如图2所示。

1.2 磁阻转矩的形成 宝宝们想必还知道，一个磁铁除了能够吸引另一个异性磁铁以外，还能吸引一块没有被预先充磁的普通铁块，这是因为具有磁性的磁铁把没有磁性的铁块磁化产生的吸力。磁阻转矩就是在转子没有永磁体或永磁体不充磁的情况下，只有定子通电流产生的磁场使转子磁化而产生的转矩。但这种转矩形成同样需要一定的条件。一个磁铁把另一个没有磁性的铁块磁化有个特点，那就是磁化后的磁力线总是喜欢挑磁阻较小的路径通过，因为这样走比较容易，我们设想，如果转子是一个均匀的铁质圆柱体，如图3a所示，那么无论磁力线怎么走所遇到的阻力都是一样的，因此定子磁场无论在什么位置使转子磁化，吸力都是沿径向的，不会产生转矩。但如果转子的形状不是均匀的圆柱形，而是存在凸极，如图3b所示，那么定子磁场在磁化转子时，就总是沿磁阻较小的凸极处通过，因此如果定子磁场位于转子的凸极后面一定角度，它就会向后吸引转子，使转子受到向后的转矩，反之如果定子磁场位于转子的凸极前面一定角度，它就会向前吸引转子，使转子受到向前的转矩，这种由于沿不同轴线磁阻不同引起的转矩叫做磁阻转矩。显然，当β变化一周（2π）时，定子磁场会扫过两个转子凸极，磁阻转矩变化两次。

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为了便于理解，老师再给宝宝们打个比方：说！如果两个异性宝宝都意识到男大当婚女大当嫁，都具有强烈的想走到一起的愿望（磁性），那么他们之间擦出的爱情火花（转矩）就叫永磁转矩；如果只有一个宝宝想找对象（假设定子具有磁性），而转子上的女宝宝是一个情窦未开的纯情少女，不懂得找对象是肿么一回事（没有磁性），那么在男宝宝强大魅力（磁性）的勾引下，不谙世事的萝莉妹妹就会稀里糊涂地迷恋上帅哥，死心塌地地跟着魅力哥哥跑，哥哥在哪她就向往哪里。如果哥哥在萝莉身后，萝莉就会向后回眸，如果哥哥在前，她就拼命前望。这就是磁化的魅力！磁阻转矩的魅力！由于在没有充磁的情况下，转子的两个凸出位置相当于两个萝莉，显然花心的哥哥跑圈时靠近哪个萝莉就会吸引哪个，因此哥哥在超越转子萝莉一圈的范围内，会遇到两个萝莉的相互吸引，转矩也就会变化两个周期，如图4所示。

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2 电磁转矩的大小 2.1 电磁基础知识 了解了电磁转矩的形成，接下来就说说转矩的大小。考虑到宝宝们的基础，在讲电磁转矩的计算公式之前，还是先给宝宝们复习一下电磁的基础知识。 ① 通电线圈产生的磁场。学过物理的宝宝们都知道，一个通电线圈会产生磁场，产生的磁场方向用右手螺旋定则判断，产生磁场（磁链）的大小见式(1)： ψ=L•I (1) ② 通电导体在磁场中受力和通电线圈在磁场中受力矩的作用。一个通电导体在磁场中会受到力的作用，受力的方向用左手定则判定，受力的大小见式(2)： F=BIL (2) 如果两个导体边组成一个线圈，那么给这个线圈通电并把它放到磁场中，它就会受到转矩的作用，转矩的大小见式(3)： T=NBIS•sinα (3) 式中：N为线圈匝数；B为磁场的磁密；I为线圈中的电流；S为线圈的面积；α为线圈的法向轴线与磁场的夹角。不难看出，NBS即为线圈所处磁场与线圈匝链的最大磁链ψf，因此(3)式即变为： T=I•ψf•sinα=I×ψf (4) 注意(4)式最后一步是把I和ψf看做两个矢量，转矩就是二者的叉乘积。由(1)式得I=ψ/L，代入(4)式得： T=(1/L)ψ×ψf (5) 我们说说如何理解转矩表达式(4)和(5)，式(4)可以理解为转矩就是一个通电线圈的两个导体边分别在所处位置的磁场中受力而产生的，这句话希望宝宝们记住，后面永磁电机的电磁转矩就是从这句话推导出来的。式(5)可以理解为通电线圈本身会产生一个磁场ψ，电磁转矩就是线圈的磁场ψ与线圈所处的磁场ψf之间相互作用的结果，即当两个磁场相互作用就会产生转矩，产生的转矩等于两个磁场的叉乘积。 ③ 电磁转矩的大小及理解。仅就大小看，电磁转矩就是两个磁场的叉乘积。由矢量运算知识可知，两个矢量A、B的叉乘积的大小就是以这两个矢量为邻边的平行四边形的面积，即A×B=A•B•sin(∠AB)。因此两个磁场相互作用产生的转矩大小正比于两个磁场矢量为邻边的平行四边形面积。

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如图5所示，由于平行四边形AOBCA的面积与平行四边形COBDC的面积相等，也与平行四边形AOCEA的面积相等，因此： A×B=A×C=C×B (6) 其中：矢量C=A＋B，式(6)可理解为两个磁场相互作用产生的电磁转矩即可以用两个磁场的叉乘积表示，也可以用两个磁场的合成磁场（即两个磁场之矢量和）与任意一个磁场的叉乘积表示。也就是说，电机的电磁转矩即可以理解为定转子磁场相互作用的结果，也可以理解为定转子在气隙中的合成磁场与转子或定子磁场相互作用的结果，电磁转矩即等于定转子磁场的叉乘积，也等于气隙磁场分别与定子或转子磁场的叉乘积。 知道了以上基础知识接下来就可以讲永磁电机的电磁转矩了。 2.2 永磁电机的电磁转矩 2.2.1 永磁电机电磁转矩与转矩角β的关系——矩角特性 永磁电机转子装有永磁体，定子上嵌放有三相绕组。在定子三相绕组中通有三相交流电流时就会产生一个旋转的磁势Fs（Is）。这个旋转的定子磁势可以看做是两个旋转的线圈产生的磁势合成的结果。一个线圈的轴线与转子直轴（d轴）重合，我们称其为直轴线圈或d轴线圈，在d轴线圈内通以电流Id就产生d轴磁势Fd；另一个线圈轴线与转子交轴（q轴）重合，我们称其为交轴线圈或q轴线圈，在q轴线圈内通以电流Iq就产生q轴磁势Fq。即Fs=Fd＋Fq，其中：Fd=Fs•cosβ；Fq=Fs•sinβ。相应地：Id=Is•cosβ；Iq=Is•sinβ。β为定子磁势Fs（或Is）与转子直轴（d轴）的夹角，即定转子磁势的夹角，也叫转矩角β。 由(1)式可知，直轴线圈会在d轴产生一个磁链Ld•Id，它与转子永磁体产生的磁链ψf相加构成直轴总磁链，即： ψd=ψf＋Ld•Id (7) 交轴线圈会在q轴产生一个磁链Lq•Iq，由于交轴上没有永磁体，因此交轴的总磁链就只有交轴线圈产生，即： ψq=Lq•Iq (8)

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由图6可见，d轴线圈的两个边恰好处于q轴磁场ψq处；q轴线圈恰好处于d轴磁场ψd处，根据前面讲的：“式(4)可以理解为转矩就是通电线圈的两个导体边分别在所处位置的磁场中受力而产生的”。因此永磁电机的电磁转矩就是两个线圈分别在所处磁场受到的转矩之代数和，由于直轴线圈在q轴磁场所受到的力矩与交轴线圈在d轴磁场所受到的力矩方向相反，所以总的电磁转矩实际上应该是两个线圈所受力矩相减，即： Tem=p•(ψd×Iq－ψq×Id) =p•[(Ld•Id＋ψf)×Iq－Lq•Iq×Id］ =p•ψf×Iq＋p•(Ld－Lq)•Iq×Id =p•ψf•Is•sinβ+(1/2)p•(Ld－Lq)•Is²•sin2β (9)

式中：p为极对数。 式(9)即为永磁电机的矩角特性，它反映了在给定定子电流Is情况下的电磁转矩与矩角的关系。该式表明，永磁电机的电磁转矩由两部分组成，第一项p•ψf×Iq是永磁磁场与交轴电流相互作用产生的转矩，我们称之为永磁转矩；第二项p•(Ld－Lq)•Iq×Id是由于转子磁路不对称（Ld≠Lq）所致，我们称之为磁阻转矩。由式可见，永磁转矩相对于转矩角β成正弦规律变化，其幅值与转子永磁体的磁链及定子电流成正比；而磁阻转矩相对于转矩角β成2倍频正弦规律变化，其幅值与定子电流的平方成正比，与交直轴电感之差成正比，与永磁体无关，因此要想提高磁阻转矩，必须设法增大交直轴的磁阻差别。由于永磁电机通常Ld＜Lq，因此永磁电机的矩角特性如图7所示。对于表贴式的永磁电机，由于Ld=Lq，所以不存在磁阻转矩。

图7 永磁同步电机矩角特性

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2.2.2 永磁电机电磁转矩与功角的关系——功角特性 由式(9)我们还可以推导出定子电压给定情况下永磁电机电磁转矩表达式（考虑到宝宝们的承受力此处省略推导过程1000字）： Tem=m•p[E0•U/(ω•Xd)sinθ＋(U²/2ω)(1/Xq－1/Xd)sin2θ] (10) 式中：m为相数；p为极对数；E0为反电势；U为端电压；ω为旋转角速度；Xd、Xq分别为直轴和交轴电抗；θ为功率角（简称功角），它是电压U与反电势之间的相位差，也是转子d轴与气隙磁链ψδ的夹角。 式(10)即为永磁电机的功角转矩特性，它反映了定子电压U给定情况下的电磁转矩与功角的关系。从功角特性同样可以看出，永磁电机的电磁转矩由两部分组成，第一项为电压给定时的永磁转矩；第二项为电压一给定时的磁阻转矩。永磁转矩相对于功角θ成正弦规律变化，其幅值与反电势和端电压成正比，由于反电势取决于转子永磁体磁链，因此永磁转矩的幅值确实就是和永磁体磁链及端电压成正比；而磁阻转矩相对于功角θ成2倍频正弦规律变化，其幅值与电压平方成正比，与交直轴的电抗的倒数差成正比，与转子永磁体无关。永磁电机的功角特性如图8所示。

图8 永磁同步电机功角特性

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式(9)和式(10)都是永磁电机的转矩特性公式，它们是分别在不同限定条件下得出的转矩表达式。从物理意义上讲，式(9)矩角特性反映了电磁转矩是由定子电流在转子磁场中受力而形成电磁转矩，因此它特别强调反映了电磁转矩与定子电流矢量大小及空间位置之间的关系；式(10)功角特性则特别强调了电磁转矩与电压大小及其相位的关系，由于电机端电压的大小和相位取决于气隙合成磁场的大小和空间位置，因此从物理意义上讲，功角特性其实是反映了气隙磁场与转子磁场之间相互作用而产生的电磁转矩。由于永磁电机的运行工况多种多样，不同的运行条件、负载性质、运行状态、控制策略等，这两个电磁转矩公式的适用性也不同，电压一定或给定电压时，通常用功角特性来分析；电流一定或给定电流时，通常用矩角特性来分析。这两个公式都是永磁电机非常重要的公式，关于两个公式如何应用，老师将在后面的瞎想中结合电机的不同结构、不同使用工况和运行条件详细介绍。 今天讲了这么多，可能有的宝宝又懵圈了，不要紧，看不懂推导过程就跳过，后面还会详细讲，但要记住推导结果，最重要的是通过本期瞎想，要理解电磁转矩是怎么来的，转矩的大小与什么有关，关系是什么。知道了这些就算有效果。另外老师顺便预告一下，由于永磁电机本身知识点比较多，理解难度大，宝宝们问的也多，因此老师就豁出去多分几期，慢慢地讲，尽量每期短小精悍，只讲一个知识点，以便宝宝们理解消化，后面的内容将包括：不同永磁电机的结构原理、不同运行工况的分析、不同运行条件的分析、永磁电机的设计、工艺、控制策略以及不同控制策略下永磁电机的设计特点、永磁电机的性能及试验检测、不同使用场合的各种各类永磁电机的设计特点及运行特性等等，敬请宝宝们耐心期待吧！今天的课就到这里，下课！