回溯法求解八皇后问题

首先我们来了解一下八皇后问题。

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题:如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后,使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后?为了达到此目的,任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题:这时棋盘的大小变为n×n,而皇后个数也变成n。当且仅当n = 1或n ≥ 4时问题有解[1]

那么 知道了问题,我们如何来求解此类问题?

首先我们从题意中能够得到的隐含条件就是每一个皇后占据一行(或是每一个皇后占据一列),这是一个非常重要的切入点,没有这个切入点的话,我们分析起来将会很麻烦。

其次既然我们每一行只能放置一个皇后,那么我就可以迭代的从第一行至最后一行开始逐行放置皇后,并且放置的过程中检测皇后的位置是否合理,如果不合理,那么我必须返回上一行重新选择其他位置(这就是我们所说的回溯问题,遇难则退),就是在这样的前进、探索、回溯的过程中,我们找出所有满足皇后合理位置的解。

下面给出C语言的实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>
const int MAX_QUEUE=5; //这里我使用的是5个皇后作为测试,大家可以自行修改选择,
//这里行是确定的,因此我们只需要关注皇后所在的列值
int column[MAX_QUEUE];
//检测是否与其他皇后位置冲突
int place(int row)
{
	if(row==0) 
		return 1;
	int i;
	//判断是否在同一条对角线上以及是否在同一行、列
	for(i=0;i<row;i++) {
		if(column[row]==column[i] || abs(column[i]-column[row])==row-i)
			return 0;
	}
	return 1;
}

void show()
{
	for(int i=0;i<MAX_QUEUE;i++)
		printf("%d ",column[i]);
	printf("\n");
}

// 选择皇后正确位置
// 回溯法,回溯标志-row,这个是非常重要的
void select(int row)
{
	int i;
	for(i=0;i<MAX_QUEUE;i++) {
		column[row]=i;
		if(place(row)) {
			//当row是最后一行时并且能够放置,那么便是正确的
			//打印之后,可以继续向后看看有没有其他摆放策略
			if(row==MAX_QUEUE-1)
				show();

			else
				select(row+1);
		}
	}
}

int main()
{
	int i;
	select(0);
	return 0;
}

附上5个皇后的结果图

[1]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AB%E7%9A%87%E5%90%8E%E9%97%AE%E9%A2%98

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