定点数的加减法
数值运算的核心是指加、减、乘、除四则算术。由于计算机中的数有定点和浮点两种表示形式，因此相应有定点数的运算和浮点数的运算。本文将介绍计算机中定点数的加减法运算过程。
注意，理解本文的前提是要清楚知道顶点数的源码、反码和补码的含义，以及定点数在计算机中的表示形式。
1.补码加法
由于计算机中定点数均以补码的方式表示和存储（个人观点，有待证明），采用补码表示法进行加减运算比源码方便多了，因为不论是正还是负，机器总是做加法，减法运算可变成加法运算。
这里再次说明定点定点数（定点整数和定点小数）的源码、反码和补码的表示规则： 正数的符号位为0，反码和补码等同于源码。 负数符号位都固定为1，源码，反码和补码的表示都不相同，由原码表示法变成反码和补码有如下规则： （1）源码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码； （2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。
1.1补码加法公式
补码加法公式是：
[x]补+[y]补=[x+y]补(mod2n)
[x]_补+[y]_补=[x+y]_补 (mod 2^n) 这里说一下上面公式的意思。mod2nmod 2^n表示的是模运算，2n2^n为模，这个模表示被丢掉的值。上面的式子在数学上成为为同余式，即等式两边的值取2n2^n的余数是相等的。
以钟表为例，说明模运算。一个钟表有12个小时刻度，时间确实0-24小时。假设现在的标准时间是4点整，而有一个表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7-4=3格；二是将时针向前拨12-3=9格。这两种方法都能对准到4点。由此可见，7-3和7+9是等价的。等价的条件就是以模为12的模运算的情况下等价，即除以12取余。以数学公式表示如下：
7−3=7+9(mod12)
7-3=7+9 (mod12)
1.2补码加法公式证明
可分五种情况来证明。假设采用定点整数表示。不包括溢出情况，该情况会另行讨论。
（1）x>0, y>0, 则x+y>0 由补码定义，[x]补=x,[y]补=y[x]_补=x, [y]_补=y, 所以[x]补+[y]补=x+y=[x+y]补[x]_补+[y]_补=x+y=[x+y]_补
（2）x<0, y<0, 则(x+y)<0
[x]补+[y]补=2n+x+2n+y=2n+(2n+x+y)=[x+y]补
[x]_补+[y]_补=2^n+x+2^n+y=2^n+(2^n+x+y)=[x+y]_补
（3）x>0, y<0, 则(x+y)<0或(x+y)>0 相加的两数一个为正，一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义：[x]补=x,[y]补=2n+y[x]_补=x, [y]_补=2^n+y，那么
[x]补+[y]补=x+2n+y=2n+(x+y)=[x+y]补
[x]_补+[y]_补=x+2^n+y=2^n+(x+y)=[x+y]_补
（4）x<0, y>0, 则(x+y)<0或(x+y)>0 这种情况和第三种情况一样，将x和y对调即可，不再赘述。
（5）当x=0或者y=0，或者x=y=0时 满足[x]补+[y]补=[x+y]补(mod2n)[x]_补+[y]_补=[x+y]_补 (mod 2^n)。
因此在模2n2^n的意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。这是补码加法的理论基础。
2.补码减法
负数的加法要利用补码化为加法来做，减法运算当然也要设法化为加法来做。其所以使用这种方法而不适用直接减法，是因为它可以和常规的加法运算使用同一加法器电路，从而简化了计算机的设计。
定点数用补码表示时，减法运算的公式为：
[x]补−[y]补=[x]补+[−y]补
[x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补
为了证明这个公式，只要证明[−y]补=−[y]补[-y]_补=-[y]_补，上式即得证。
证明如下： 因为[x]补+[y]补=[x+y]补[x]_补+[y]_补=[x+y]_补，所以 ①[y]补=[x+y]补–[x]补 [y]_补= [x+y]_补–[x]_补
又[x–y]补=[x+(–y）]补=[x]补+[–y]补[x–y]_补= [x+(–y）]_补= [x]_补+[–y]_补，所以 ②[–y]补=[x–y]补–[x]补[–y]_补= [x – y]_补–[x]_补
①+②得[–y]补+[y]补=[x–y]补–[x]补+[x+y]补–[x]补=[x–y]补+[x+y]补–[x]补–[x]补=[x–y+x+y]补–[x]补–[x]补=[2x]补–2[x]补=0[–y]_补+[y]_补= [x–y]_补–[x]_补+[x+y]_补–[x]_补=[x–y]补+[x+y]补–[x]补–[x]补=[x–y+x+y]补–[x]补–[x]补 =[2x]补–2[x]补=0
从而有 [–y]补=–[y]补(mod2n)[–y]补= –[y]补 (mod 2^n)
因此，只要求得[–y]补[–y]_补，就可以变减法为加法，已知[y]补[y]_补，求[–y]补[–y]_补的法则是：
对[y]补[y]_补各位（包括符号位）取反，然后在末位加上1，就可以得到[–y]补[–y]_补。
示例： [X]补=00110110，[Y]补=11001101[X ]_补=00110110，[Y]_补 =11001101，求[X]补+[Y]补，[X]补−[Y]补[X]_补+[Y]_补，[X]_补-[Y]_补 ，其中x=54，y=-51。
3.溢出概念与检测方法
3.1溢出的概念
在定点整数机器中，数的表示范围|x|<(2n−1)|x|<(2^n-1)。在运算过程中如出现大于字长绝对值的现象，称为“溢出”。在定点机器中，正常情况下溢出是不允许的。
例：设定点整数字长8位，补码表示（最高位为符号位），表示范围为-128~127，运算结果超出此范围就发生溢出。
两个负数相加的结果小于机器所能表示的最小负数，结果变为负数，成为负溢。
两个正数相加，结果大于机器字长所能表示的最大正数，结果成为变为负数，称为正溢。
下面以具体的例子来演示正常的运算和溢出时的运算。
3.2溢出的检测方法
为了判断溢出是否发生可采用以下两种检测方法。
（1）单符号法 当两个操作数同号时，而其和的符号与操作数的符号不一致则就发出溢出，公式表示如下：
溢出=A¯¯¯nB¯¯¯nSn+AnBnS¯¯¯n
溢出=\overline A_n\overline B_n S_n +A_n B_n\overline S_n
注意： a、若是同号相减或异号相加，则运算结果不可能溢出； b、若是同号相加或异号相减，则运算结果可能溢出。
（2）采用最高有效位的进位判断
溢出=C¯¯¯nCn−1+CnC¯¯¯n−1=C¯¯¯n⨁C¯¯¯n−1
溢出= \overline C_nC_{n-1} + C_n\overline C_{n-1}=\overline C_n\bigoplus \overline C_{n-1}
符号位产生的进位与最高有效位产生的进位情况不同，则溢出。
（3）采用变形补码判断(双符号位) 用Sn+1、SnS_{n+1}、Sn分别表示结果最高符号位和第2个符号位。
溢出=Sn+1⨁Sn
溢出=S_{n+1}\bigoplus S_n 01：结果正溢; 10：结果负溢;
定点整数的加减运算完成之后，会由硬件逻辑电路进行溢出检测，如果发现存在溢出，则产生硬件中断 。
4.定点小数的加减运算法则
定点小数是定点数的一种，其运算法则和步骤与定点整数一致，不再赘述。下面举个仅以双符号位补码来表示定点小数的补码加减运算示例。
参考文献
[1]计算机组成原理第四版[M].白中英.科学出版社 [2]http://wenku.baidu.com/link?url=BL5mztNkNIvtPKAF96-iHRPIUQLimljQ9bci9Vy5yGyjhfMe8F_wjxTYHgGG3MbgdMsEU-18oG27u5Tw4Q_ffmRqSg9imaPzif-0Vs3f8g3