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主成分分析(PCA)原理总结

    主成分分析(Principal components analysis,以下简称PCA)是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA,下面我们就对PCA的原理做一个总结。

1. PCA的思想

    PCA顾名思义,就是找出数据里最主要的方面,用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的,假如我们的数据集是n维的,共有m个数据$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维,希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失,但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢?

    我们先看看最简单的情况,也就是n=2,n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向,它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向,$u_1$和$u_2$,那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢?从直观上也可以看出,$u_1$比$u_2$好。

    为什么$u_1$比$u_2$好呢?可以有两种解释,第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近,第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

    假如我们把n'从1维推广到任意维,则我们的希望降维的标准为:样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

    基于上面的两种标准,我们可以得到PCA的两种等价推导。

2. PCA的推导:基于小于投影距离

    我们首先看第一种解释的推导,即样本点到这个超平面的距离足够近。

    假设m个n维数据$(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化,即$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}=0$。经过投影变换后得到的新坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中$w$是标准正交基,即$||w||_2=1, w_i^Tw_j=0$。

    如果我们将数据从n维降到n'维,即丢弃新坐标系中的部分坐标,则新的坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_{n'}\}$,样本点$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为:$z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)},...,z_{n'}^{(i)})$.其中,$z_j^{(i)} = w_j^Tx^{(i)}$是$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。

    如果我们用$z^{(i)}$来恢复原始数据$x^{(i)}$,则得到的恢复数据$\overline{x}^{(i)} = \sum\limits_{j=1}^{n'}z_j^{(i)}w_j = Wz^{(i)}$,其中,W为标准正交基组成的矩阵。

    现在我们考虑整个样本集,我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近,即最小化下式:$$\sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2$$

    将这个式子进行整理,可以得到:

$$ \begin{align} \sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 & = \sum\limits_{i=1}^{m}|| Wz^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^T(Wz^{(i)}) - 2\sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^Tx^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}W^Tx^{(i)} +\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}  \\& = - \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}  \\& =   -tr( W^T(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T})W)  + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& =  -tr( W^TXX^TW)  + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}  \end{align}$$

    其中第(1)步用到了$\overline{x}^{(i)}=Wz^{(i)} $,第二步用到了平方和展开,第(3)步用到了矩阵转置公式$(AB)^T =B^TA^T$和$W^TW=I$,第(4)步用到了$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,第(5)步合并同类项,第(6)步用到了$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。

    注意到$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}$是数据集的协方差矩阵,W的每一个向量$w_j$是标准正交基。而$\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}$是一个常量。最小化上式等价于:$$\underbrace{arg\;min}_{W}\;-tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I$$

    这个最小化不难,直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵$XX^T$最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到$$J(W) = -tr( W^TXX^TW) + \lambda(W^TW-I)$$

    对W求导有$-XX^TW+\lambda W=0$, 整理下即为:$$XX^TW=\lambda W$$

    这样可以更清楚的看出,W为$XX^T$的n'个特征向量组成的矩阵,而$\lambda$为$XX^T$的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时,需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集,我们只需要用$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

    如果你熟悉谱聚类的优化过程,就会发现和PCA的非常类似,只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量,而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。  

3. PCA的推导:基于最大投影方差

    现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。

假设m个n维数据$(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化,即$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}=0$。经过投影变换后得到的新坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中$w$是标准正交基,即$||w||_2=1, w_i^Tw_j=0$。

    如果我们将数据从n维降到n'维,即丢弃新坐标系中的部分坐标,则新的坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_{n'}\}$,样本点$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为:$z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)},...,z_{n'}^{(i)})$.其中,$z_j^{(i)} = w_j^Tx^{(i)}$是$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。

    对于任意一个样本$x^{(i)}$,在新的坐标系中的投影为$W^Tx^{(i)}$,在新坐标系中的投影方差为$W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$,要使所有的样本的投影方差和最大,也就是最大化$ \sum\limits_{i=1}^{m}W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$,即:$$\underbrace{arg\;max}_{W}\;tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I$$

    观察第二节的基于最小投影距离的优化目标,可以发现完全一样,只是一个是加负号的最小化,一个是最大化。

    利用拉格朗日函数可以得到$$J(W) = tr( W^TXX^TW) + \lambda(W^TW-I)$$

    对W求导有$XX^TW+\lambda W=0$, 整理下即为:$$XX^TW=(-\lambda)W$$

    和上面一样可以看出,W为$XX^T$的n'个特征向量组成的矩阵,而$-\lambda$为$XX^T$的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时,需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集,我们只需要用$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

4. PCA算法流程

    从上面两节我们可以看出,求样本$x^{(i)}$的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵$XX^T$的前n'个特征值对应特征向量矩阵W,然后对于每个样本$x^{(i)}$,做如下变换$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,即达到降维的PCA目的。

    下面我们看看具体的算法流程。

    输入:n维样本集$D=(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$,要降维到的维数n'.

    输出:降维后的样本集$D'$

    1) 对所有的样本进行中心化: $x^{(i)} = x^{(i)} - \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m} x^{(j)}$

    2) 计算样本的协方差矩阵$XX^T$

    3) 对矩阵$XX^T$进行特征值分解

    4)取出最大的n'个特征值对应的特征向量$(w_1,w_2,...,w_{n'})$, 将所有的特征向量标准化后,组成特征向量矩阵W。

    5)对样本集中的每一个样本$x^{(i)}$,转化为新的样本$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$

    6) 得到输出样本集$D' =(z^{(1)}, z^{(2)},...,z^{(m)})$

    有时候,我们不指定降维后的n'的值,而是换种方式,指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在(0,1]之间。假如我们的n个特征值为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$,则n'可以通过下式得到:$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n'}\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i} \geq t $$

5. PCA实例

    下面举一个简单的例子,说明PCA的过程。

    假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9),需要用PCA降到1维特征。

    首先我们对样本中心化,这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值后,即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

    现在我们开始求样本的协方差矩阵,由于我们是二维的,则协方差矩阵为:

$$\mathbf{XX^T} = \left( \begin{array}{ccc} cov(x_1,x_1) & cov(x_1,x_2)\\   cov(x_2,x_1) & cov(x_2,x_2) \end{array} \right)$$

    对于我们的数据,求出协方差矩阵为:

$$\mathbf{XX^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0.616555556 & 0.615444444\\   0.615444444 & 0.716555556 \end{array} \right)$$

    求出特征值为(0.490833989, 1.28402771),对应的特征向量分别为:$(0.735178656, 0.677873399)^T\;\; (-0.677873399, -0.735178656)^T$,由于最大的k=1个特征值为1.28402771,对于的k=1个特征向量为$(-0.677873399, -0.735178656)^T$. 则我们的W=$(-0.677873399, -0.735178656)^T$

    我们对所有的数据集进行投影$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,得到PCA降维后的10个一维数据集为:(-0.827970186, 1.77758033, -0.992197494, -0.274210416, -1.67580142, -0.912949103, 0.0991094375, 1.14457216, 0.438046137, 1.22382056)

6. 核主成分分析KPCA介绍

    在上面的PCA算法中,我们假设存在一个线性的超平面,可以让我们对数据进行投影。但是有些时候,数据不是线性的,不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想,先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间满足n'<n<N。

    使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射$\phi$产生。

    则对于n维空间的特征分解:$$ \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}W=\lambda W$$

    映射为:$$ \sum\limits_{i=1}^{m}\phi(x^{(i)})\phi(x^{(i)})^TW=\lambda W$$

    通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解,然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说,映射$\phi$不用显式的计算,而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算,因此它的计算量要比PCA大很多。

7. PCA算法总结

    这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法,它只需要特征值分解,就可以对数据进行压缩,去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点,出现了很多PCA的变种,比如第六节的为解决非线性降维的KPCA,还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA,以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

    PCA算法的主要优点有:

    1)仅仅需要以方差衡量信息量,不受数据集以外的因素影响。 

    2)各主成分之间正交,可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

    3)计算方法简单,主要运算是特征值分解,易于实现。

    PCA算法的主要缺点有:

    1)主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性,不如原始样本特征的解释性强。

    2)方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息,因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

祝大家新年快乐!

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