三角形的内角和等于180°?不对!

导读: “三角形内角和等于180°”,这对于我们来说是再熟悉不过的一个常识,陈省身教授从一个不同的角度去看待这个问题,并将这个问题延伸推广,于1944年,找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式(高斯—比内—陈公式),把几何学引入了新的天地,被誉为划时代的贡献。

美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家,他十分关心祖国数学科学的发展。人们称赞他是“中国青年数学学子的总教练”。

▲陈省身教授

1980年,陈教授在北京大学的一次讲学中语惊四座:

“人们常说,三角形内角和等于180°。但是,这是不对的!”

大家愕然。怎么回事?三角形内角和是180°,这不是数学常识吗?

接着,这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答:

说“三角形内角和为180°”不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当 说“三角形外角和是360°”!

把眼光盯住内角,只能看到:

三角形内角和是180°;

四边形内角和是360°;

五边形内角和是 540°;

…………

n边形内角和是(n-2)×180°。

这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。

如果看外角呢?

三角形的外角和是360°;

四边形的外角和是360°;五边形的外角和是360°;

…………

任意n边形外角和都是360°。

这就把多种情形用一个十分简单的结论概况起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了更一般的规律。

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子(图1)。每经过一个顶点,它前进的方向就要改变一次,改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈,回到原处,方向和出发时一致了,角度改变量之和当然恰好是360°。

图1

这样看问题,不但给“多边形外角和等于 360°”这条普遍规律找得到了直观上的解释,而且立刻把我们的眼光引向了更宽广的天地。

一条凸的闭曲线——卵形线,谈不上什么内角和与外角和。可是蚂蚁在上面爬的时候,它的方向也在时时改变。它爬一圈,角度改变量之和仍是360°(图2)。

图2

“外角和为360°”,这条规律适用于封闭曲线!不过,叙述起来,要用“方向改变量之和”来代替“外角和”罢了。

对于凹多边形,就要把“方向改变量总和”改为“方向改变量的代数和”(图3)。不妨约定:逆时针旋转的角为正角,顺时针旋转的角为负角。当蚂蚁在图示的凹四边形的边界上爬行的时候,在A₁,A₂,A₄处,由方向的改变所成的角是正角:∠1,∠2,∠4;而在A₃处,由方向的改变所成的角是负角:∠3。如果你细细计算一下,这4个角正负相抵,代数和恰是360°。

图3

上面说的都是平面上的情形,曲面上的情形又是怎么样呢?地球是圆的。如果你沿着赤道一直向前走,可以绕地球一圈回到原地。但在地面上测量你前进的方向,却是任何时刻都没有变化。也就是说:你绕赤道一周,方向改变量总和是0°!

圈子小一点,你在房间里走一圈,方向改变量看来仍是360°。

不大不小的圈子又怎么样呢?如果让蚂蚁沿着地球仪上的北回归线绕一圈,它自己感到的(也就是在地球仪表面上测量到的)方向的改变量应当是多少呢?

用一个圆锥面罩着北极,使圆锥面与地球仪表面相切的点的轨迹恰好是北回归线(图4)。这样,蚂蚁在球面上的方向的改变量和在锥面上方向的改变量是一样的。把锥面展开成扇形,便可以看出,蚂蚁绕一圈,方向改变量的总和,正好等于这个扇形的圆心角(图5):

图4

图5

要弄清楚这里面的奥妙,不妨看看蚂蚁在金字塔上沿正方形爬一周的情形(图6)。

图6

它的方向在拐角处改变了多大角度?把金字塔表面摊平了一看便知:在B处改变量是180°-(∠1+∠2);绕一圈,改变量是

4×180°-(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8)

=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA

这个和,正是锥面展形后的“扇形角”(图7)!

图7

早在2000多年前,欧几里德时代,人们就已经知道三角形内角和是180°。到了19世纪,德国数学家、被称为“数学之王”的高斯,在对大地测量的研究中,找到了球面上由大圆弧构成的三角形内角和的公式。又经过几代数学家的努力,直到1944年,陈省身教授找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式(高斯—比内—陈公式),把几何学引入了新的天地。由此发展出来的“陈氏类”理论,被誉为划时代的贡献, 在理论物理学上有重要的应用。

从普通的、众所周知的事实出发,步步深入、推广,挖掘出广泛适用的深刻规律。从这里显示出数学家透彻、犀利的目光,也表现了数学家穷追不舍、孜孜以求的探索真理的精神。

作者:张景中

来源:数学家的眼光

原文发布于微信公众号 - 大数据(hzdashuju)

原文发表时间:2018-05-13

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