函数式编程简介

lambeta

发布于 2018-08-17 11:30:20

1.6K0

发布于 2018-08-17 11:30:20

文章被收录于专栏：编舟记编舟记

函数式编程是什么

函数式编程更加强调程序执行的结果而非执行的过程，倡导利用若干简单的执行单元让计算结果不断渐进，逐层推导复杂的运算，而不是设计一个复杂的执行过程。 -- wiki

例子一累加运算

// sum
List<Integer> nums = Arrays.asList(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10);

public static Integer sum(List<Integer> nums) {
    int result = 0;
    for (Integer num : nums) {
        result += num;
    }
    
    return result;
}

sum(nums); // -> 46

同样的代码用 Java8 Stream 实现

Arrays.asList(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10).stream().reduce(0, Integer::sum);

同样的代码用 Clojure 实现

(apply + [0 1 2 3 4 5 6 7 8 10]) ; -> 46
#_(reduce + [0 1 2 3 4 5 6 7 8 10])

例子二 fabonacci数列

// java
public static int fibonacci(int number) {
    if (number == 1) {
        return 1;
    }
    if(number == 2) {
        return 2;
    }
    
    int a = 1;
    int b = 2;
    for(int cnt = 3; cnt <= number; cnt++) {
        int c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }   
    return b;
}

// java8
Stream.iterate(new int[]{1, 1}, s -> new int[]{s[1], s[0] + s[1]})
                .limit(10)
                .map(n -> n[1])
                .collect(toList())
// -> [1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]

// clojure
(->> (iterate (fn [[a b]] [b (+ a b)]) [1 1])
     (map second)
     (take 10))
; -> (1 2 3 5 8 13 21 34 55 89)

比起命令式的语言，函数式语言更加关注执行的结果，而非执行的过程。

函数式编程的历史

从Hilbert 23个数学难题谈起

1900年，Hilbert 提出了数学界悬而未决的10大问题，后续陆续添加成了23个问题，被称为著名的 Hilbert 23 Problem。针对其中第2个决定数学基础的问题——算术公理之相容性，年轻的哥德尔提出了哥德尔不完备定理，解决了这个问题形式化之后的前两点，即数学是完备的吗？数学是相容的吗？哥德尔用两条定理给出了否定的回答。

所谓不完备，即系统中存在一个为真，但是无法在系统中推导出来的命题。比如：U说：“U在PM中不可证”。虽然和说谎者很类似，但其实有明显的差异。我们可以假设U为可证，那么可以推出PM是矛盾（不相容）的；但是假设U不可证，却推导不出PM是矛盾的。U的含义是在PM中不可证，而事实上，它被证明不可证，所以U是PM中不可证的真命题。

基于第一条不完备定理，又可以推导出第二条定理。如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。

而最后一个问题，数学是确定的吗？也就是说，存在一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的吗（Entscheidungsproblem 确定性问题）？这个问题引起了阿隆佐·邱奇和年轻的阿兰·图灵的兴趣。

阿隆佐·邱奇的 lambda calculus 和图灵的图灵机构造出了可计算数，图灵的那篇论文 ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM 的意义不在于证明可计算数是否可数，而在于证明可判定性是否成立。在1936年他们对判定性问题分别独立给出了否定的答案。也就是现在被我们熟知的图灵停机问题：不存在这样一个程序（算法），它能够计算任何程序（算法）在给定输入上是否会结束（停机）。图灵借此发明了通用图灵机的概念，为后来的冯·诺依曼体系的计算机体系提供了理论基础。

Lambda Calculus

Lambda Calculus

Lambda 表达式包含三个要素

变量
lambda 抽象
lambda 应用据此我们可以用函数给出布尔值的定义

data BOOL = FALSE | TRUE
TRUE = λx.λy.x
FALSE = λx.λy.y

not = λb.b FALSE TRUE
and = λb1.λb2.b1 b2 FALSE
or  = λb1.λb2.b1 TRUE b2
xor = λb1.λb2.b1 (not b2) b2

自然数的定义

data NAT = Z | S NAT
0 = λf.λs.s
1 = λf.λs.f s
2 = λf.λs.f f s

succ n = λf.λs.f (n f s)
zero? n = n (λb.FALSE) TRUE
add = succ n1 n2

函数式编程语言的发展

在这之后，随着通用计算机的产生，人们发觉使用机器码写程序太没有效率。所以1956年左右，John Buckus发明了Fortran（FORmula TRANslating 的缩写）语言，如果对编译原理有了解，那么对BNF范式就不陌生了。与此同时，John McCarthy 发明了Lisp语言，现代的Clojure就是Lisp的方言之一。1966年，Niklaus Wirth发明了Pascal。1969年，Ken Thompson和Dennis Ritchie发明了C语言，过程式语言由于其高效和可移植性迅速崛起。1973年，Robin Milner 发明了ML（Meta Language），后来演变成了OCaml和Stardard ML。1977年，John Buckus在其图灵奖的演讲中创造了 Functional Programming 这个词。1990年，惰性求值的函数式编程语言 Haskell 1.0 发布。

编程语言发展历史

神奇的 Y Combinator

(def Y (fn [f]
         ((fn [x] (x x))
          (fn [x]
            (f (fn [y]
                 ((x x) y)))))))

Lisp、ML以及Haskell的关系

Lisp是动态语言，使用S表达式

ML和Haskell都是静态强类型函数式语言

ML是第一个使用Hindley-Milner type inference algorithm的语言

Lisp和ML都是call-by-value，但是Haskell则是call-by-name

Lisp和ML都是不纯的编程语言，但是Haskell是side effect free的

函数是一等公民

函数是一等公民，指的是你可以将函数作为参数、返回值、数据结构存在，而且不仅可以用函数名引用，甚至可以匿名调用。

1. 作为参数

(map inc [1 2 3 4 5]) ;-> (2 3 4 5 6) ;; inc is an argument

2. 作为返回值

(defn add [num] 
    (fn [other-num] (+ num other-num))) ;; as return-value
(def add-one (add 1))
(add-one 2) ;-> 3

(defn flip [f]  ;; as argument and return-value
  (fn [x y]
    (f y x)))

3. 数据结构

(def dictionary {:a "abandon"}) ;; map is also a function, data is code.
(dictionary :a) ;-> "abandon"
(:a dictionary) ;-> "abandon"

4. 匿名函数

((fn [x] (* x x))
        2) ;-> 4
    
(map 
    (fn [num] (+ 1 num)) ;; anonymous function
    [1 2 3 4 5]) ;-> (2 3 4 5 6)

5. 模块化

在面向对象中，对象是一等公民。所以我们处处要从对象的角度去考虑计算问题，然后产生一种共识——数据应该和它相关的操作放到一起，也就是我们所说的封装。确实没错，但是我们得知道封装的意义在哪里？功能内聚好理解（分块）和局部性影响（控制可变性）。函数式编程同样考虑这些，功能内聚不一定要用类的方式（考虑一下JS的prototype，也是一种面向对象），只要模块做得好，一样能达到效果。局部性影响，其本质是封装可变因素以避免其扩散到代码各处。函数式给出了自己的答案，消除可变因素。

高阶函数和惰性求值也非常有利于模块化。

纯函数和不可变性

纯函数是指执行过程中没有副作用的函数，所谓副作用是说超出函数控制的操作，比如在执行过程中操作文件系统、数据库等外部资源。纯函数还具有引用透明性的特点，也就是同样的输入导致同样的输出，以至于完全可以用函数的值代替对函数的调用。

引用透明

举个例子：

(inc 1) ; -> 2

(= (inc (inc 1)
   (inc 2))) ; -> true

你们可能就会问，这种东西究竟有什么用呢？纯函数可以很方便地进行缓存。

(defn fibonacci [number]
  (if (or (zero? number) (= 1 number)) 1
      (+
       (fibonacci (dec number))
       (fibonacci (- number 2)))))
(fibonacci 30) ; -> "Elapsed time: 185.690208 msecs"

(def fibonacci
  (memoize (fn [number] ;;
             (if (or (zero? number) (= 1 number)) 1
                 (+
                  (fibonacci (dec number))
                  (fibonacci (- number 2)))))))
(fibonacci 30) ; -> "Elapsed time: 0.437114 msecs"

不可变计算

谈到不可变性，我们做个游戏。统计在座的一共有多少人数。我们都知道从某个人开始依次报数，最后得到的数字就是总人数，其实这就是一种不可变计算的游戏，为什么这么说呢？因为报数其实一个计算的过程，第一个人计算出1这个数，传递给第二个人。然后第二个人拿着前面的1进行加一操作，然后把结果2传递给后面的人做加法，以此类推。为了提高统计的效率，我也可以进行分组，然后每组自行报数，最后统计结果。但是如果我在白板上写个数字1，然后让大家来过来该这个数字，很大可能会出现错误，因为这个数字成为了竞态条件。在多并发的情况下，就得用读写锁来控制。所以不可变性特别利于并发。

不可变性

不可变的链式结构

好了，现在我们有个新的需求，设计一个不可变列表收集大家的名字。每个节点存储一个姓名的字符串，并且有个指针指向下一个节点。但是这也打破了列表的不可变性。怎么办？我们可以把新的节点指向旧有的列表，然后返回一个新的列表。这就是不可变列表实现的机制。随便一提，这也是区块链不可变特征的由来。

不可变的链式结构

Clojure的创造者Rich Hickey扩展了Ideal Hash Tree数据结构，实现了Persistent Vector。由于此处的叶子节点可以扩展成32个，所以可以大量存储数据。利用Ideal Hash Tree的特点可以快速索引出数据，与此同时，数据的“增删改”也能做到近常数化的时间，并且总是产生新的数据结构替换原有的数据结构，即一种不可变的链式存储结构。

Clojure Persistent Vector

不可变的树状结构

Zipper数据结构类似于文本编辑器中的 gap buffer，编辑文本时，光标左边和右边分别是独立的buffer，光标处也是单独的buffer，这样便可以方便地添加文字，也很方便删除左右buffer中的文字；移动光标会涉及buffer之间的拷贝。基本上能在常数时间内完成编辑。Zipper数据结构模仿了这种方式，能在常数时间内完成树的编辑工作，也能很快地重新构建一棵树。

不可变的树状结构

递归

可计算很大问题就是得实现递归功能。

(defn reverse-seq [coll]
  (when-let [elem (first coll)]
    (concat (reverse-seq (rest coll)) [elem])))
(reverse-seq [1 2 3]) ; -> (3 2 1)

和循环无异的尾递归

(defn gcd [& nums]
  (reduce #(if (zero? %2)
                %
                (recur %2 (mod % %2))) nums))
(gcd 8 16) ; -> 8

生成式测试

生成式测试会基于输入假设输出，并且生成许多可能的数据验证假设的正确性。

(defn add [a b]
  (+ a b))
;; 任取两个整数，把a和b加起来的结果减去a总会得到b。
(def test-add
  (prop/for-all [a (gen/int)
                 b (gen/int)]
                (= (- (add a b) a) b)))


(tc/quick-check 100 test-add)
; -> {:result true, :num-tests 100, :seed 1515935038284}

测试结果表明，刚才运行了100组测试，并且都通过了。理论上，程序可以生成无数的测试数据来验证add方法的正确性。即便不能穷尽，我们也获得一组统计上的数字，而不仅仅是几个纯手工挑选的用例。

抽象是什么

抽取共性，封装细节，忘记不重要的差异点。这样的好处是可以做到局部化影响和延迟决策。

抽象屏障

命名

命名就是一种抽象，重构中最重要的技法就是重命名和提取小函数

(* 3 3 3)
(* x x x)
(* y y y)
->
(defn cube [x]
  (* x x x))

延迟决策

例如：我们定义数对 pair

pair:: (cons x y)
first pair -> x
second pair -> y

那么它的具体实现会是这样的

(defn cons [x y]
  (fn [m]
    (cond (= m 0) x
          (= m 1) y)))
(defn first [z]
  (z 0))
(defn second [z]
  (z 1))

也可以是这样的，还可以是其它各种各样的形式。

(defn cons [x y]
  (fn [b]
    (b x y))
(defn first [z]
    (z (fn [x y] x)))
(defn second [z]
    (z (fn [x y] y)))

高阶函数

高阶函数就是可以接收函数的函数，高阶函数提供了足够的抽象，屏蔽了很多底层的实现细节。比如Clojure中的map高阶函数，它接收(fn [v] ...)，把一组数据映射成另外一组数据。

过程抽象

(map inc [1 2 3 4 5]) ; -> (2 3 4 5 6)

这些函数抽象出映射这样语义，除了容易记忆，还能很方便地重新编写成高效的底层实现。也就是说，一旦出现了更高效的map实现算法，现有的代码都能立刻从中受益。

函数的组合

函数组合之后会产生巨大的能量

神奇的加法

(((comp (map inc) (filter odd?)) +) 1 2) ; -> 4

怎么去理解这个函数的组合？我们给它取个好听的名字

(def special+ ((comp (map inc) (filter odd?)) +))
(special+ 1 2) ; -> 4

; <=> 等价于
(if (odd? (inc 2))
    (+ 1 3))
    1)

这个未必是个好的组合方式，但是不可否认的是，我们可以用这些随意地将这些函数组合到一起，得到我们想要的结果。

transducer

(def xf (comp (filter odd?) (take 10)))
(transduce xf conj (range))
;; [1 3 5 7 9 11 13 15 17 19]

这里直接将求值延迟到了transduce计算的时候，换句话说，xf定义了一种过程：filter出奇数并取出前10个元素。同等的代码，如果用表达式直接书写的话，如下：

(->> (range)
     (filter odd?)
     (take 10))

这里的问题就是我们没能使用高阶函数抽象出过程，如果把 conj 换成其他的reduce运算，现在的过程无法支撑，但是tranducers可以！

(transduce xf + (range)) ;-> 100

我们再看一个tranducer的神奇使用方式：

(defn log [& [idx]]
  (fn [rf]
    (fn
      ([] (rf))
      ([result] (rf result))
      ([result el]
        (let [n-step (if idx (str "Step: " idx ". ") "")]
          (println (format "%sResult: %s, Item: %s" n-step result el)))
        (rf result el)))))

(def ^:dynamic *dbg?* false)

(defn comp* [& xforms]
  (apply comp
         (if *dbg?*
           (->> (range)
                (map log)
                (interleave xforms))
           xforms)))

(binding [*dbg?* true]
  (transduce
   (comp*
    (map inc)
    (filter odd?))
   +
   (range 5))) ;; -> 9
   
Step: 0. Result: 0, Item: 1
Step: 1. Result: 0, Item: 1
Step: 0. Result: 1, Item: 2
Step: 0. Result: 1, Item: 3
Step: 1. Result: 1, Item: 3
Step: 0. Result: 4, Item: 4
Step: 0. Result: 4, Item: 5
Step: 1. Result: 4, Item: 5

之所以会出现上述的结果，是因为interleave xforms将(map inc)以及(filter odd?)和logs进行了交叉，得到的结果是(comp (map inc) (log) (filter odd?) (log))，所以如果是偶数就会被filter清除，看不见log了。

首先一定得理解：每个tranducer函数都是同构的！

形式如下

(defn m [f]
    (fn [rf] 
        (fn [result elem]
            (rf result (f elem)))))

这意味着(m f)的函数都是可以组合的，组合的形式如下：

(comp (m f) (m1 f1) ...)

展开之后

((m f) 
    ((m1 f1) 
        ((m2 f2) ...)))
->
(fn [result elem]
    (((m1 f1) 
        ((m2 f2) ...)) result (f elem)))

所以可以看到第一个执行的一定是 comp 的首个 reducing function 参数。故：

xform 作为组合的前提
执行顺序从左到右；
+ 作为 reducing function 最后执行；

Monad

什么是Monad呢？A monad is just a monoid in the category of endofunctors.

Identity—For a monad m, m flatMap unit => m
Unit—For a monad m, unit(v) flatMap f => f(v)
Associativity—For a monad m, m flatMap g flatMap h => m flatMap {x => g(x) flatMap h}

// java8 实现的 9*9 乘法表
public class ListMonad<T> {
    private List<T> elements;

    private ListMonad(T elem) {
        this.elements = singletonList(elem);
    }

    private ListMonad(List<T> elems) {
        this.elements = elems;
    }

    public <U> ListMonad<U> flatmap(Function<T, ListMonad<U>> fn) {
        List<U> newElements = new ArrayList<>();
        this.elements.forEach(elem -> newElements.addAll(fn.apply(elem).elements));
        return new ListMonad<>(newElements);
    }

    public <X> ListMonad<X> uint(X elem) {
        return new ListMonad<>(elem);
    }

    public <U> ListMonad<U> apply(ListMonad<Function<T, U>> m) {
        return m.flatmap(this::map);
    }

    public <U> ListMonad<U> map(Function<T, U> fn) {
        return flatmap(t -> uint(fn.apply(t)));
    }

    public static void main(String[] args) {
        ListMonad<Integer> m = new ListMonad<>(Arrays.asList(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9));
        ListMonad<Integer> m1 = new ListMonad<>(Arrays.asList(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9));

        ListMonad<Integer> list = m.apply(m1.map(x -> y -> x * y));
        // [1...81]
    }
}

表达式优于语句

S表达式

原子，或者；
形式为 (x • y) 的表达式，其中x和y也是S表达式。

举个例子，递增一组数据，过滤奇数，然后进行排序，最终取出第一个。如果取不到，返回:not-found。

(-> [1 2 3] 
    (->> (map inc) 
         (filter odd?) 
         (sort) 
         (first)) 
    (or :not-found))
; -> 3 
(-> [1 1 3] 
    (->> (map inc) 
         (filter odd?) 
         (sort) 
         (first)) 
    (or :not-found)
; -> :not-found

当然你也可以写成

(if-let [r (first (sort (filter odd? (map inc [1 1 1]))))] 
    r 
    :not-found)
; -> :not-found

其实两者都是S表达式，但是下面的写法更加偏向于语句。从串联起来读来讲，前者明显是由于后者的。这要是放在其他函数式语言上，效果更加显著。比如下面重构if-else控制语句到Optional类型。

if-else -> Optional

Optional<Rule> rule = ruleOf(id);
if(rule.isPresent()) {
    return transform(rule.get());
} else {
    throw new RuntimeException();
}

public Rule transform(Rule rule) {
    return Rule.builder()
                .withName("No." + rule.getId())
                .build();
}

这是典型的语句可以重构到表达式的场景，关键是怎么重构呢？

第一步，调转if。

Optional rule = ruleOf(id);

if(!rule.isPresent()) {
    throw new RuntimeException();
} 
   
return transform(rule.get());

第二步，Optional.map函数

...
return rule.map(r -> transform(r)).get();

第三步，inline transform函数

...
rule.map(r -> Rule.builder()
                    .withName("No." + r.getId())
                    .build()).get();

第四步，Optional.orElseThrow函数

...
rule.map(r -> Rule.builder()
                    .withName("No." + r.getId())
                    .build())
    .orElseThrow(() -> new RuntimeException());

第五步，注if释语句中的throw new RuntimeException()

if(!rule.isPresent()) {
   // throw new RuntimeException();
}

这时候发现语句中为空，即可将整个语句删除。可以考虑inline rule。

ruleOf(id).map(r -> Rule.builder()
                    .withName("No." + r.getId())
                    .build())
    .orElseThrow(() -> new RuntimeException());

完毕。

我们认识事物的方式

把几个简单的想法合并成一个复合概念，从而创造出所有复杂的概念。
简单的或复杂的两种思想融合在一起，并立即把它们联系起来，不要把它们统一起来，从而得到它所有的关系思想。
把他们与其他所有陪伴他们的真实存在的想法分开：这就是所谓的抽象，因此所有的一般想法都是被提出来的。