排列类算法问题大总结全排列分析带重复元素的全排列代码下一个排列分析上一个排列分析第k个排列分析排列序号分析排列序号II分析
排列类算法问题大总结全排列分析带重复元素的全排列代码下一个排列分析上一个排列分析第k个排列分析排列序号分析排列序号II分析
- 全排列
- 带重复元素的排列
- 下一个排列
- 上一个排列
- 第 k 个排列
- 排列序号
- 排列序号II
全排列
给定一个数字列表，返回其所有可能的排列。
注意事项
你可以假设没有重复数字。 样例 给出一个列表[1,2,3]，其全排列为：
[ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]
分析
可以用递归和非递归解决
首先递归法，也是利用了回溯法和深度优先搜索。
我们考虑一个一个将数组元素加入到排列中，递归求解，就好像下面的解答树：
Paste_Image.png
添加的时候排除掉相同的元素即可，回溯法我们经常会设置一个已访问标识数组，来表示数组被访问过，但这里不用这样，因为如果list里面已经包含就说明已经访问过了，所以只要判断，跳过已有的元素即可。 再考虑递归的结束条件，当元素都添加足够就结束了，添加足够的意思就是，元素个数等于数组的长度。
class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if(nums == null)
return res;
if(nums.length == 0)
{
res.add(new ArrayList<Integer>());
return res;
}
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
dfs(res, list, nums);
return res;
}
private void dfs(List<List<Integer>> res, ArrayList<Integer> list, int[] nums) {
int n = nums.length;
if(list.size() == n)
{
res.add(new ArrayList<Integer>(list));
return;
}
for(int i = 0;i < n;i++) {
if(list.contains(nums[i]))
continue;
list.add(nums[i]);
dfs(res, list, nums);
list.remove(list.size() - 1);
}
}
}非递归实现 思路是这样的，就是高中的排列组合知识，运用插入法即可，假设有i个元素的排列组合，那么对于i+1个元素，可以考虑就是将i+1的元素插入到上述的排列的每一个位置即可。
class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
if ( nums == null)
return res;
if( nums.length == 0)
{
res.add(new ArrayList<Integer>());
return res;
}
List<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(nums[0]);
res.add(new ArrayList<Integer>(list));
for(int i=1;i<nums.length;i++) {
int size1 = res.size();
for(int j=0;j<size1;j++) {
int size2 = res.get(0).size();
for(int k=0;k<=size2;k++) {
ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<>(res.get(0));
temp.add(k,nums[i]);
res.add(temp);
}
res.remove(0);
}
}
return res;
}
}带重复元素的全排列
给出一个具有重复数字的列表，找出列表所有不同的排列。
样例 给出列表 [1,2,2]，不同的排列有：
Paste_Image.png
代码
class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of unique permutations.
*/
public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
ArrayList<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if(nums == null)
return null;
if(nums.length == 0)
{
res.add(new ArrayList<Integer>());
return res;
}
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
//先将数组排序，这样相同元素将会出现在一起
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
int[] visited = new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
visited[i] = 0;//0标识未访问
helper(res, list, visited, nums);
return res;
}
private void helper(ArrayList<List<Integer>> res, ArrayList<Integer> list, int[] visited, int[] nums) {
if(nums.length == list.size()) {
res.add( new ArrayList<Integer>(list));
}
for(int i=0;i<nums.length;i++) {
if(visited[i] == 1 || i!= 0 && (visited[i-1] == 0 && nums[i] == nums[i-1]))
continue;
/*
上面的判断主要是为了去除重复元素影响。
比如，给出一个排好序的数组，[1,2,2]，那么第一个2和第二2如果在结果中互换位置，
我们也认为是同一种方案，所以我们强制要求相同的数字，原来排在前面的，在结果
当中也应该排在前面，这样就保证了唯一性。所以当前面的2还没有使用的时候，就
不应该让后面的2使用。
*/
list.add(nums[i]);
visited[i] = 1;
helper(res, list, visited, nums);
list.remove(list.size()-1);
visited[i] = 0;
}
}
}下一个排列
给定一个若干整数的排列，给出按正数大小进行字典序从小到大排序后的下一个排列。
如果没有下一个排列，则输出字典序最小的序列。
样例 左边是原始排列，右边是对应的下一个排列。
1,2,3 → 1,3,2
3,2,1 → 1,2,3
1,1,5 → 1,5,1
分析
这道题让我们求下一个排列顺序，有题目中给的例子可以看出来，如果给定数组是降序，则说明是全排列的最后一种情况，则下一个排列就是最初始情况，可以参见之前的博客 Permutations 全排列。我们再来看下面一个例子，有如下的一个数组 1 2 7 4 3 1 下一个排列为： 1 3 1 2 4 7 那么是如何得到的呢，我们通过观察原数组可以发现，如果从末尾往前看，数字逐渐变大，到了2时才减小的，然后我们再从后往前找第一个比2大的数字，是3，那么我们交换2和3，再把此时3后面的所有数字转置一下即可，步骤如下： 1 2 7 4 3 1 1 2 7 4 3 1 1 3 7 4 2 1 1 3 1 2 4 7
所以我们要做的就是找到第一个比peak元素大的数字，交换，然后反转
public class Solution {
/**
* @param nums: an array of integers
* @return: return nothing (void), do not return anything, modify nums in-place instead
*/
public int[] nextPermutation(int[] nums) {
int i = nums.length - 2;
while (i >= 0 && nums[i + 1] <= nums[i]) {
i--;
}
if (i >= 0) {
int j = nums.length - 1;
while (j >= 0 && nums[j] <= nums[i]) {
j--;
}
swap(nums, i, j);
}
reverse(nums, i + 1);
return nums;
}
private void reverse(int[] nums, int start) {
int i = start, j = nums.length - 1;
while (i < j) {
swap(nums, i, j);
i++;
j--;
}
}
private void swap(int[] nums, int i, int j) {
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
}上一个排列
给定一个整数数组来表示排列，找出其上一个排列。
注意事项
排列中可能包含重复的整数
样例 给出排列[1,3,2,3]，其上一个排列是[1,2,3,3]
给出排列[1,2,3,4]，其上一个排列是[4,3,2,1]
分析
与求下一个排列是一样的方法，只是相应的操作变反即可
public class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers
* @return: A list of integers that's previous permuation
*/
public void swapItem(ArrayList<Integer> nums, int i, int j) {
Integer tmp = nums.get(i);
nums.set(i, nums.get(j));
nums.set(j, tmp);
}
public void swapList(ArrayList<Integer> nums, int i, int j) {
while ( i < j) {
swapItem(nums, i, j);
i ++; j --;
}
}
public ArrayList<Integer> previousPermuation(ArrayList<Integer> nums) {
int len = nums.size();
if ( len <= 1)
return nums;
int i = len - 1;
while ( i > 0 && nums.get(i) >= nums.get(i-1) )
i --;
swapList(nums, i, len - 1);
if ( i != 0) {
int j = i;
while ( nums.get(j) >= nums.get(i-1) ) j++;
swapItem(nums, j, i-1);
}
return nums;
}
}第k个排列
给定 n 和 k，求123..n组成的排列中的第 k 个排列。
注意事项
1 ≤ n ≤ 9
样例 对于 n = 3, 所有的排列如下：
123 132 213 231 312 321 如果 k = 4, 第4个排列为，231.
分析
康托展开的公式：（不用记，看形势就行，下面会有例子）
X=an(n-1)!+an-1(n-2)!+...+ai(i-1)!+...+a21!+a1*0!
ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)
适用范围：没有重复元素的全排列
N个数的第k个排序，例子，1，2，3，4共有4！种排列，1234,1243,1324等等。按顺序应该是
1234
1243
1324
1342
1423
1432等等
可以通过STL中next_permutation（begin, end）;来算下一个全排列，理论上你要算n个数的第k个排列只要调用k-1次next_permutation()就行，但是一般来说肯定会超时的，因为next_permutation的时间复杂度是O(n)（如果自己写出来next_permutation时间复杂度比n大就要注意了，其中一个容易疏忽的地方是最后排序可以用reverse而不是sort）。所以如果用这个的话时间复杂度是O(N^2)。
而用康托展开只要O(n)就行，下面来说说具体怎么做:
题目：找出第16个n = 5的序列（12345）
首先第十六个也就是要前面有15个数，要调用15次next_permutation函数。
根据第一行的那个全排列公式，15 / 4! = 0 …15 =》 有0个数比他小的数是1，所以第一位是1
拿走刚才的余数15，用15 / 3! = 2 …3 => 剩下的数里有两个数比他小的是4（1已经没了），所以第二位是4
拿走余数3， 用 3 / 2! = 1 …1 =》 剩下的数里有一个数比他小的是3，所以第三位是3
拿走余数1， 用 1/ 1! = 1 …0 => 剩下的数里有一个数比他小的是 5（只剩2和5了），所以第四位是5
所以排列是 1,4,3,5,2
class Solution {
/**
* @param n: n
* @param k: the kth permutation
* @return: return the k-th permutation
*/
public String getPermutation(int n, int k) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
boolean[] used = new boolean[n];
k = k - 1;
int factor = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
factor *= i;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
int index = k / factor;
k = k % factor;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (used[j] == false) {
if (index == 0) {
used[j] = true;
sb.append((char) ('0' + j + 1));
break;
} else {
index--;
}
}
}
if (i < n - 1) {
factor = factor / (n - 1 - i);
}
}
return sb.toString();
}
}排列序号
给出一个不含重复数字的排列，求这些数字的所有排列按字典序排序后该排列的编号。其中，编号从1开始。
样例 例如，排列 [1,2,4] 是第 1 个排列。
分析
这道题是求第k个排列的反向思维
已知是n = 5，求14352是它的第几个序列？（同一道题）
用刚才的那道题的反向思维：
第一位是1，有0个数小于1，即0* 4！
第二位是4，有2个数小于4，即2* 3！
第三位是3，有1个数小于3，即1* 2！
第四位是5，有1个数小于5，即1* 1！
第五位是2，不过不用算，因为肯定是0
所以14352是 n = 5的第 0 + 12 + 2 + 1 + 0 = 15 + 1（求的是第几个，所以要加一） = 16
第16个，跟刚才那道题一样，证明对了
public class Solution {
/**
* @param A an integer array
* @return a long integer
*/
public long permutationIndex(int[] A) {
// Write your code here
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
if (hash.containsKey(A[i]))
hash.put(A[i], hash.get(A[i]) + 1);
else {
hash.put(A[i], 1);
}
}
long ans = 0;
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
if (A[j] < A[i]) {
hash.put(A[j], hash.get(A[j])-1);
ans += generateNum(hash);
hash.put(A[j], hash.get(A[j])+1);
}
}
hash.put(A[i], hash.get(A[i])-1);
}
return ans+1;
}
long fac(int numerator) {
long now = 1;
for (int i = 1; i <= numerator; i++) {
now *= (long) i;
}
return now;
}
long generateNum(HashMap<Integer, Integer> hash) {
long denominator = 1;
int sum = 0;
for (int val : hash.values()) {
if(val == 0 )
continue;
denominator *= fac(val);
sum += val;
}
if(sum==0) {
return sum;
}
return fac(sum) / denominator;
}
}排列序号II
给出一个可能包含重复数字的排列，求这些数字的所有排列按字典序排序后该排列在其中的编号。编号从1开始。
样例 给出排列[1, 4, 2, 2]，其编号为3。
分析
这道题基于查找不存在重复元素中排列序号的基础之上，
即P(n) = P(n-1)+C(n-1)
C(n-1) = (首元素为小于当前元素，之后的全排列值) P(1) = 1;
而不存在重复元素的全排列值C(n-1) = (n-1)!*k(k为首元素之后小于当前元素的个数)
在存在重复元素的排列中首先全排列的值的求法变为：
C(n-1) = (n-1)!/(A1!A2!···Aj!)k(其中Ai 为重复元素的个数，k为小于首元素前不重复的个数)
/**
* @param A an integer array
* @return a long integer
*/
long fac(int numerator) {
long now = 1;
for (int i = 1; i <= numerator; i++) {
now *= (long) i;
}
return now;
}
long generateNum(HashMap<Integer, Integer> hash) {
long denominator = 1;
int sum = 0;
for (int val : hash.values()) {
if(val == 0 )
continue;
denominator *= fac(val);
sum += val;
}
if(sum==0) {
return sum;
}
return fac(sum) / denominator;
}
public long permutationIndexII(int[] A) {
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
if (hash.containsKey(A[i]))
hash.put(A[i], hash.get(A[i]) + 1);
else {
hash.put(A[i], 1);
}
}
long ans = 0;
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
HashMap<Integer, Integer> flag = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
if (A[j] < A[i] && !flag.containsKey(A[j])) {
flag.put(A[j], 1);
hash.put(A[j], hash.get(A[j])-1);
ans += generateNum(hash);
hash.put(A[j], hash.get(A[j])+1);
}
}
hash.put(A[i], hash.get(A[i])-1);
}
return ans + 1;
}腾讯云开发者
