4.5.2 平衡二叉树

1、平衡二叉树的定义

为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，我们规定在插入和删除二叉树结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树，简称平衡树（AVL树）。定义结点左子树和右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。

因此平衡二叉树可定义为它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1.

2、平衡二叉树的插入

二叉排序树保证平衡的基本思想：每当在二叉树中插入（或删除）一个结点时，首先要检查其插入路径上的结点是否因为此次操作而导致了不平衡。如果导致了不平衡，则先找到插入路径上离结点最近的平衡因子绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。

注意：每次调整的对象都是最小不平衡子树，即在插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点作为根的子树。

平衡二叉树的插入过程前半部分与二叉排序树相同，但是在新结点插入后，如果造成了查找路径上不再平衡，需要做出相应的调整。一般可将失去平衡后进行调整的规律归纳为以下4种情况： 1）LL平衡旋转（右单旋转）

由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左孩子B向右上旋转代替A称为根结点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根结点，则B的原右子树则作为A结点的左子树。

2）RR平衡旋转（左单旋转）

由于在结点A的右孩子（R）的右孩子（R）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树则称为A结点的右子树。

3）LR平衡旋转（先左后右双旋转）

由于在A的左孩子（L）的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。现将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置。

4）RL平衡旋转（先右后左双旋转）

由于在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。现将A结点的右孩子B的左子树的C向右上旋转提升到B的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置。

3、平衡二叉树的查找

在平衡二叉树上进行查找的过程和二叉排序树相同，因此，在查找的过程中和给定值进行比较的关键字的个数不超过树的深度。

假设以Nh表示深度为h的平衡树中含有最少的结点树。显然N0=0,N1=1,N2=2,并且有Nh=N(h-1)+N(h-2)+1.

可以证明，含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为O(log2 n).因此平衡二叉树的平均查找长度为O(log2 n)。