logistic regression一点理解为什么用sigmoid函数?为什么要用交互熵做损失函数？

关于logistic regression一些常见问题，整理出来，方便大家应对各种坑爹的面试官。

为什么用sigmoid函数?

the odds of experiencing an event

如果我们想预测每天股票涨多少，可以假设线性模型

f(x)=w_{0}+w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{m}x_{m}

，然后通过MSE进行模型更新；但是如果我们想要预测每天是否涨这样就不行了，因为f(x)对于的结果要么是1要么是0（要么涨要么不涨）。

要解决这个问题，我们先理解一个概念the odds of experiencing an event： 假设我们认为股票涨的概率为p，对于伯努利分布而言，不涨的概率即为1-p。那么我们构造了p/(1-p)，就是the odds of experiencing an event胜率，

ln(\frac{p}{1-p})

即为对数胜率。当我们坚信它会涨的情况下，p趋向1，

ln(\frac{p}{1-p})

趋向正无穷；当我们坚信它不会涨的情况下，p趋向0，

ln(\frac{p}{1-p})

趋向负无穷。这就又转化为可以用线性模型预测的问题了：

ln(\frac{p}{1-p}) = g(x) = w_{0}+w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{m}x_{m}

将

ln(\frac{p}{1-p}) = g(x)

展开就可以得到：

p = \frac{1}{1+e^{-g(x)}}

，这就解释了为什么说logistic regression是线性模型，因为它的决策边界是线性的；这就解释了为什么想到了要用sigmoid作为压缩函数。

exponential model

就这一种办法么？当然不是： 假设第i个特征对涨的贡献是

w_{1i}

，则记数据点(

x_1, \ldots, x_n)

属于涨的概率为

w_{11}x_1 + w_{12}x_2 + \ldots + w_{1n}x_n

，正比于

\exp(w_{11}x_1 + w_{12}x_2 + \ldots + w_{1n}x_n)

；

假设第i个特征对不涨的贡献是

w_{0i}

，则记数据点(

x_1, \ldots, x_n)

属于不涨的概率为

w_{01}x_1 + w_{02}x_2 + \ldots + w_{0n}x_n

，正比于

\exp(w_{01}x_1 + w_{02}x_2 + \ldots + w_{0n}x_n)

所以，令涨=1则有：

p(y=1)=\frac{\exp(w_{11}x_1 + w_{12}x_2 + \ldots + w_{1n}x_n)}{\exp(w_{11}x_1 + w_{12}x_2 + \ldots + w_{1n}x_n)+\exp(w_{01}x_1 + w_{02}x_2 + \ldots + w_{0n}x_n)}

，上下同除以

\exp(w_{11}x_1 + w_{12}x_2 + \ldots + w_{1n}x_n)

且令

w_{0i}-w_{1i} = w_{2i}

，则依旧得到了

p(y=1)= \frac{1}{1+e^{-h(w_{2i}x)}}

的sigmoid结果。

exponential family

如果大家对数学有点点研究的话，exponential family指出:如果一类分布（a class of distribution）属于exponential family，那么它能写成如下形式：

p(y;\eta )=b(y)exp(\eta ^{T}T(y)-a(\eta ))

伯努利分布可以写成：

p(y;\Theta ) = \Theta ^{y}(1-\Theta )^{1-y}

p(y;\Theta ) =exp(ylog( \Theta) +(1-y)log(1-\Theta ))

把后面的

(1-y)log(1-\Theta )

展开，就有了sigmoid形式出现了：

p(y;\Theta ) =exp(ylog( \Theta/(1-\Theta)) +log(1-\Theta ))

对应上方的exponential family的形式，

\eta =log( \Theta/(1-\Theta))

，这不又回到了the odds of experiencing an event胜率的问题了嘛。

为什么要用交互熵做损失函数？

极大似然角度：

我们假设预测结果服从伯努利分布，那么可以把一个case预测结果写成：

p(y_{i}) = \Theta ^{y_{i}}(1-\Theta )^{1-y_{i}}

其中

\Theta

为给定前提

p(y_{i}=1|x_{i}) =1

下

y_{i}=1

概率值

要使当前参数下所有事情发生的概率最大，联合分布为各边缘分布的乘积，得到：

L(w)=\prod (h(x_{i}))^{y_{i}}(1-h(x_{i}))^{1-y_{i}}

其中

h(x) = w_{0}+w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{m}x_{m}

取log后方便计算：

ln(L(w))=\sum (y_{i}lnh(x_{i})+(1-y_{i})ln(1-x_{i})))

这个就是我们最初的交互熵的形式。

信息熵角度：

熵

用来衡量信息量大小，熵越大，越不稳定，信息量越大。

S(x) = -\sum_{i}P(x_{i})logP(x_{i})

KL散度

用来衡量两份数据的相似程度，KL散度越大，越不相似。

\begin{equation*} D_{KL}(A||B) = \sum_{i}P_{A}(x_i) log\bigg(\frac{P_{A}(x_i)}{P_{B}(x_i)} \bigg) = \sum_{i}P_{A}(x_i)log(P_{A}(x_i ))- P_{A}(x_i)log(P_{B}(x_i)) \end{equation*}

从公式上，我们就可以看出：

D_{KL}(A||B) + S(A)=H(A,B)

其实很好理解的，对应训练数据traindata分布，和未知的真实数据分布越一致越好；同理，模型预测的分布，和训练数据traindata分布也是越一致越好，所以用KL散度来度量就是一个不错的方法。

至于为什么不直接最小化

D_{KL}(A||B)

而是选择了最小化H(A,B)，我是觉得就和交互熵求导前面加上1/2一样，为了简化计算量，本质上是一致的。