基于Numpy的线性代数运算

标题中的英文首字母大写比较规范，但在python实际使用中均为小写。

1.Numpy中的matrix

1.1 创建matrix对象

numpy.matrix方法的参数可以为ndarray对象 numpy.matrix方法的参数也可以为字符串str，示例如下：

import numpy as np
m = np.matrix("1 2 3;4 5 6; 7 8 9")
print(m,type(m))

上面一段代码的运行结果如下：

[[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] <class 'numpy.matrixlib.defmatrix.matrix'>

1.2 bmat函数

很神奇的用法， 可以用字符串和已定义的矩阵创建新矩阵。

import numpy as np
a = np.eye(2)
print("a :\n",a)
b = a * 2
print("b :\n",b)
c = np.bmat("a b;b a")
print("c :\n",c)

上面一段代码的运行结果如下：

a : [[1. 0.] [0. 1.]] b : [[2. 0.] [0. 2.]] c : [[1. 0. 2. 0.] [0. 1. 0. 2.] [2. 0. 1. 0.] [0. 2. 0. 1.]]

2.算术运算

2.1 ndarray对象的除法运算

5种除法运算方式： 1.divide函数：做除法，返回除法的浮点数结果 2.true_divide函数：返回除法的浮点数结果 3.floor_divide函数：做除法，进行向下取整并返回整数 4.使用/运算符：相当于调用divide函数 5.使用//运算符：相当于调用floor_divide函数 示例代码如下：

import numpy as np 
a = np.array([2,6,5])
b = np.array([1,2,3])
print("divide function result:")
print(np.divide(a,b))
print(np.divide(b,a))
print("true_divide function result:")
print(np.true_divide(a,b))
print(np.true_divide(b,a))
print("floor_divide function result:")
print(np.floor_divide(a,b))
print(np.floor_divide(b,a))

上面一段代码的运行结果如下：

divide function result: [ 2. 3. 1.66666667] [ 0.5 0.33333333 0.6 ] true_divide function result: [ 2. 3. 1.66666667] [ 0.5 0.33333333 0.6 ] floor_divide function result: [2 3 1] [0 0 0]

2.2 ndarray对象的模运算

4种模运算方式： 1.remainder函数：逐个返回两个数组中元素相除后的余数 2.mod函数与remainder函数，两者功能完全一致 3.%操作符是remainder函数的简写 4.fmod函数所得余数的正负由被除数决定，与除数的正负无关 示例代码如下：

import numpy as np
a = np.arange(-5,5)
print("remainder function result:")
print(np.remainder(a,3))
print("mod function result:")
print(np.mod(a,3))
print("% operator result:")
print(a % 3)
print("fmod function result:")
print(np.fmod(a,3))

上面一段代码的运行结果如下：

remainder function result: [1 2 0 1 2 0 1 2 0 1] mod function result: [1 2 0 1 2 0 1 2 0 1] % operator result: [1 2 0 1 2 0 1 2 0 1] fmod function result: [-2 -1 0 -2 -1 0 1 2 0 1]

3.通用函数

概念：通用函数是一种对ndarray中的数据执行元素级运算的元素。你可以将其看做其他函数（接受一个或者多个标量，并产生一个或多过标量值）的矢量化包装器。通用函数的输入是一组的标量，输入也是一组标量，它们通常可以对应于基本数学运算，如加、减、乘、除。 ufunc有两个类别： 1.一元(unary)ufunc，它们接受一个数组。返回一个结果数组，当然也能返回两个数组，但是这种的不是很常见； 2.二元(binary)ufunc，它们接受两个数组， 并返回一个结果数组。

一元(unary)ufunc

image.png

二元(binary)ufunc

image.png

Numpy已有的通用函数具备的方法

4种方法： 1 np.add.accumulate返回对矩阵求和结果，和np.sum效果相同，返回值数据类型为整数int 2 np.add.reduce返回求和运算的中间结果，返回值数据类型为numpy.ndarray 3 np.add.reduceat返回值数据类型为numpy.ndarray 返回ndarray对象的第1个元素是0,5返回索引0-4对应值的求和结果 返回ndarray对象的第2个元素是5,2返回索引5对应值 返回ndarray对象的第3个元素是2,7返回索引2-6对应值的求和结果，即3+4+5+6+7=25 返回ndarray对象的第4个元素是7-end返回索引7-9对应值的求和结果，即8+9+10=27 4 np.add.outer返回值数据类型为numpy.ndarray 返回ndarray对象的第1个元素是a所有元素+1的结果 返回ndarray对象的第2个元素是a所有元素+2的结果 返回ndarray对象的第3个元素是a所有元素+3的结果

import numpy as np
a = np.arange(1,11)
print("add.reduce result:")
print(np.add.reduce(a))
print("add.accumulate result:")
print(np.add.accumulate(a))
print("add.reduceat result:")
print(np.add.reduceat(a,[0,5,2,7]))
print("add.outer result:")
print(np.add.outer(np.arange(1,4),a))

上面一段代码的运行结果如下：

add.reduce result: 55 add.accumulate result: [ 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55] add.reduceat result: [15 6 25 27] add.outer result: [[ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11] [ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] [ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13]]

4.线性代数应用

numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，可以用来： 1.计算逆矩阵； 2.解线性方程； 3.求特征值，特征矩阵； 4.求解行列式

4.1 计算逆矩阵

import numpy as np 
A = np.array([[0,1,2],[1,0,3],[4,-3,8]])
print("A = ")
print(A)
inverse = np.linalg.inv(A)
print("A的逆矩阵:")
print(inverse)
I = A * inverse
print("when A and inverse is ndarray object,\n"
    "A * inverse =")
print(I)
I = np.matrix(A) * np.matrix(inverse)
print("when A and inverse is matrix object,\n"
    "A * inverse =")
print(I)

上面一段代码的运行结果如下：

A = [[ 0 1 2] [ 1 0 3] [ 4 -3 8]] A的逆矩阵: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] when A and inverse is ndarray object, A * inverse = [[-0. 7. -3.] [-2. 0. -3.] [ 6. 6. 4.]] when A and inverse is matrix object, A * inverse = [[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]]

4.2 解线性方程组

使用numpy.linalg.solve函数计算线程方程组，需求如下：已知线性方程组,求解x,y,z

线性方程组.png

import numpy as np
A = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
print("A =")
print(A)
B = np.array([0,8,-9])
print("B =")
print(B)
Solve = np.linalg.solve(A,B)
print("Solve:")
print("x = {0}, y = {1}, z = {2}".format(*Solve))

如果A为numpy.ndarray对象，代码运行结果一样。 上面一段代码的运行结果如下：

A = [[ 1 -2 1] [ 0 2 -8] [-4 5 9]] B = [ 0 8 -9] Solve: x = 29.0, y = 16.0, z = 3.0

4.3 特征值和特征向量

特征值是方程Ax = ax的解，是一个标量。其中A是一个二维矩阵，x是一个一维向量。 特征向量是关于特征值的向量。 在eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组。

import numpy as np
A = np.mat("3 -2;1 0")
print("A =")
print(A)
print("A矩阵的特征值:")
print(np.linalg.eigvals(A))
print("A矩阵的特征向量:")
print(np.linalg.eig(A)[1])

上面一段代码的运行结果如下：

A = [[ 3 -2] [ 1 0]] A矩阵的特征值: [2. 1.] A矩阵的特征向量: [[0.89442719 0.70710678] [0.4472136 0.70710678]]

6.3金融函数

1.fv函数：计算所谓的终值，即基于一些假设给出的某个金融资产在未来某一时间点的价值。

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