（11.2）James Stewart Calculus 5th Edition：Series

Series 级数

类似

这样的数列，叫做 ** infinite series 无限级数** （或者 series 级数） （这里，为什么要翻译成 级数...， 不翻译成 系列，连续数 ？？... 我也是服了 ，在名词上，总是让人感到）

可以简单写成：

或者

一些级数的和 例如：

我们可以得到（过程略） n(n + 1) / 2

再例如：

通过表格，我们可以知道

所以，我们可以得到，当n为无穷大的时候，有

当然，n有限的时候 可以理解为 partial sums 部分和

可以简单写成

convergent 收敛 和 divergent 发散

当然，还有一种写法：

例子1 geometric series 几何级数（也就是 等比数列）

（自己看见一个东西，在不同的课本，叫不同的名字， 其实 第一感觉，就是让人郁闷， 为什么知识这样的东西， 没有一个总的调整，:-( 中国不缺人才，只缺为人才考虑的人）

求法也很简单

相乘后，交叉相减即可

当 -1 < r < 1 的时候，

其他时候，发散

也就是：

例子2

很容易发现，对应的比例 r = - 2/3 我们知道， |r| < 1 所以，收敛

例子3

我们简单变化，有：

这个时候，我们知道 4/3 > 1 所以，级数 是 发散的

例子4

我们可以把它变化成：

求对应的级数和：

例子5

根据公式，直接有：

例子6

相信，这是小学最常见不过的奥数题了 一般课本，初中也经常出现 （感觉中国最常见的是， 总是用复杂的东西，去考下面的人，最后生活中，又不去应用...）

题目，其实就是：

由：

可得：

所以，

例子7 (harmonic series 调和级数)

这里要证明是发散的， 虽然不好直接证明，但是可以缩小以后，证明缩小的是发散的

所以：

所以，我们可以得到对应的值，是 无穷大的 所以是 divergent 发散的

理论

不证明了，简单贴一下过程：

简单的推导

一些级数的加减乘除

例子９

单独求以后，相加即可

又由：

所以，我们简单连接有：