类似
这样的数列,叫做 ** infinite series 无限级数** (或者 series 级数) (这里,为什么要翻译成 级数..., 不翻译成 系列,连续数 ??... 我也是服了 ,在名词上,总是让人感到)
可以简单写成:
或者
一些级数的和 例如:
我们可以得到(过程略) n(n + 1) / 2
再例如:
通过表格,我们可以知道
所以,我们可以得到,当n为无穷大的时候,有
当然,n有限的时候 可以理解为 partial sums 部分和
可以简单写成
当然,还有一种写法:
(自己看见一个东西,在不同的课本,叫不同的名字, 其实 第一感觉,就是让人郁闷, 为什么知识这样的东西, 没有一个总的调整,:-( 中国不缺人才,只缺为人才考虑的人)
求法也很简单
相乘后,交叉相减即可
当 -1 < r < 1 的时候,
其他时候,发散
也就是:
很容易发现,对应的比例 r = - 2/3 我们知道, |r| < 1 所以,收敛
我们简单变化,有:
这个时候,我们知道 4/3 > 1 所以,级数 是 发散的
我们可以把它变化成:
求对应的级数和:
根据公式,直接有:
相信,这是小学最常见不过的奥数题了 一般课本,初中也经常出现 (感觉中国最常见的是, 总是用复杂的东西,去考下面的人,最后生活中,又不去应用...)
题目,其实就是:
由:
可得:
所以,
这里要证明是发散的, 虽然不好直接证明,但是可以缩小以后,证明缩小的是发散的
所以:
所以,我们可以得到对应的值,是 无穷大的 所以是 divergent 发散的
不证明了,简单贴一下过程:
简单的推导
一些级数的加减乘除
单独求以后,相加即可
又由:
所以,我们简单连接有: