（11.3）James Stewart Calculus 5th Edition：The Integral Test and Estimates of Sums

The Integral Test 积分判别

上一节，有一些级数 可以通过一些简单的方法，求和 并且知道了，收敛的级数，是可以求和的 但是，对于具体的收敛或者发散的确认，具体求和还不太清楚 下面一起看看

先看一个级数：

我们简单看一下图像：

对应的和， 就是面积和， 要比积分的面积小 而积分的面积为：

我们可以知道对应的值

（欧拉， 有一个比较复杂的证明， 求出对应的值为 π^2 / 6）

所以，我们知道，对应的级数是收敛的

同理，对于级数

有图像：

也可以得到它是 收敛的

我们可以得到

也就是， f 在 [ 1, +无穷大 ) 连续正，并且递减 我们有上面的结论

例子1

我们知道，对应的 f 在 [ 1, +无穷大 ) 连续正，并且递减 在求对应的积分：

所以，我们知道对应的级数是 收敛的

例子2

在 7.8.2（自己真记不得了）中 我们知道

在 p > 1 的时候， 收敛 在 p <=1 的时候， 发散

所以，我们可以得到对应的定理

例子3

和

我们根据上面的公式 知道 前面的p >1 ，收敛 后面的p <1 ，发散

Estimating the Sum of a Series 估计级数和

我们先看一下 第n项之后的和：

对应的图像为：

我们可以知道：

同理，对于

我们可以知道：

我们可以得到定理：

例子5

（a） 首先，前10项和，我们直接求就行：

对应的积分为：

我们根据上面公式，有：

所以，对应的误差 小于 0.05

（b） 如果要让误差在0.0005内，则由：

有：

我们可以得到：

也就是需要32项

如果两边都 加上 Sn， 则有：

例子6

根据上面的求和，可以知道范围：

由

和

我们可以得到：

即：

我们取中间的值，可以得到：

Proof of the Integral Test 证明积分判别

略 其实， 上面的例子也说明了 所以，只是简单的文字描述