（8.5）James Stewart Calculus 5th Edition：Probability

Probability 概率

微积分在随即行为分析上扮演了一个角色。 例如，某个年龄段人的胆固醇水平，成年女性随机的高度 等 这里叫做 **continuous random variables 连续随机变量 **

例如，我们买的手机电量在100到200小时之间。 可以表示为：

而对应的连续随机变量 都有一个 **probability density function概率密度函数 ** 对应a到b之间的概率， 就是 a到b的积分。 （也很好理解，就是可能性的总和）

例如下图：

中间的面积，就是60到70英寸的概率 （简单说明，这段的可能性比较大，其他段，慢慢变小）

这里，我们也可以简单知道，所有范围域的可能性和为1，即：

例子

a. 这里在其他范围的可能性都为0的话， 我们只要求[0，1]上的积分为1，就可以证明

所以，我们可以证明。

b. P[4，8] 我们只要求对应的积分即可：

Average Values 平均值

the mean of any probability density function 概率密度函数的平均值 的定义

具体过程

前半部分，对应的 x平均值为： 由 James Stewart Calculus 5th Edition 8.3 我们可以知道 后面，我们有上面的整个面积为1， 可以得到后半部分的化简

其实，这张图

中间那条线就是对应的平均值，是对应的平衡点

当然，还有一种函数，也可以表示：

normal distribution 正态分布

很多我们常见的情况，都属于 正态分布 （dodo自己还记得概率论的课上，老师用滚珠来证明正态分布） 对应的表达式为：

（这里的两个符号， 分别表示 取的x的 左侧区间点 和 右侧区间点， 也就是最小值和最大值） 对应的图像：

当然，这个也满足概率的原则：

例子

a. 根据题目，我们可以确认 [85，115]这个范围的分布的概率值可以表示为：

根据上面类似的 辛普森法则 ，可以求得：

b. 根据题目，我们可以确认 (140，+无穷大)这个范围的分布的概率值可以表示为：

和上面类似，可以求得值：