（9.1）James Stewart Calculus 5th Edition：Modeling with Differential Equations

Models of Population Growth 人口增长模型

先简单说明下模型中的变量： t 是时间， 自变量 p 是人口数量，因变量

人口增长率为： dP / dt

假设下面式子成立：

也就是：

我们可以求得指数函数：

对应的图像为：

但是，人口只能为正数，所以，需要取上面部分：

剩下的略

A Model for the Motion of a Spring 弹簧的动力模型

我们知道，弹簧储存的力 为： f = -kx （也就是反方向的力，弹力系数）

有f = ma

我们知道 a 是加速度， 可以表示为 距离和时间的二次微分

我们可以有

简单变化，可以得到：

General Differential Equations 一般微分方程

In general, a differential equation is an equation that contains an unknown function and one or more of its derivatives 微分方程，也就是，包含一个或者多个导数 和 未知函数的方程

例如：

其实，也就是

这里，如果我们给微分方程一个具体的解，

则会得到函数

但是，大多数时候，微分方程没有那么简单。 它没有一个具体的解决方法。后面会具体学习

例子1

这里先求y的微分

然后，右侧就可以表示为：

这个时候，每个c的值，都是微分方程的一个解。

其实，上面这个例子，很好理解。

我们简单总结下。 我们通常对方程的解集不感兴趣，所以需要添加附加条件 通常的问题，都会添加前提条件

我们可以叫做， ** initial condition 初始条件 **。

微分方程，满足的 ** initial condition 初始条件 ** 叫做： initial-value problem 初始值问题 （也很好理解，解集赋初值的条件下，可以求出具体的值）

例子2

我们把 t = 0， y = 2 带入到上面的式子

有

可以求出 c = 1/3 所以，对应的解为：