反常积分简单可以分为几种类型
比如,这个图像,我们求对应的面积
这个时候,我们得到和图中差不多的过程
我们可以发现:
同理,我们可以得到类似的结论(最后一个,就是上面的结果):
大体(其中一种)也就是这样:(也就是是 convergent 收敛的)
图像大体会为:
一些例子
这里,我们具体收敛与否,只需要看一下对应的面积是否有极限
我们得到对应的面积是无穷大的, 就知道对应的 improper integral 反常积分, 不收敛
我们可以根据前面的定义,得到写法:
我们设 u = x , v = e^x 可以简单用 部分积分 化简:
对应的一项,再用 罗必塔法则 上下求导,得:
这个时候,整体为:
这样的,上面也提到过 需要在中间 去一点,分别求两边极限的积分,这里取0这一点:
右边:
左边类似,这时候两边一起为:
所以:
对应的图像,为:
有的时候,对应的积分,不连续(可以通过竖线法则, 看能不能每个点都可以取到y值)
例如上面这样的,都是连续的 但是,下图就是例外(不连续,就不扯了)
对应的定义为:
大体就是 : 对应的描述, 极限存在就是收敛, 否则不收敛的判断 还有 对应值的求值方法
先注意,x=2是没有意义的,所以 x=2这块为开区间 我们求积分,可得:
也就是左图的面积:
判断是否收敛,我们只要求对应的积分,看极限是否存在 我们求值,可得:
所以,不收敛
自己大体理解为: 大的收敛,小的一定收敛 小的不收敛,大的一定不收敛
当存在不好求的地方,我们可以找一个对比 我们知道 1/x 不收敛,而
从而,得出, 这个长的式子是 不收敛的