(4.7)James Stewart Calculus 5th Edition:Optimization Problems


Optimization Problems 优化问题

解决最大值,最小值等一系列的问题,通常可以用下面几部步骤:

Steps in Solving Optimization Problems
  • (1) Understand the Problem 理解问题
    • 理解题目意思。
    • 了解 什么不知道,要做什么。
    • 给了哪些值
    • 知道哪些条件
  • (2) Draw a Diagram 画图像
    • 画出对应的图像
    • 标出 已经给了的值
  • (3) Introduce Notation 符号介绍
    • 用一个符号表示要求的最大值 或者 最小值 (这里用Q表示)
    • 用一些符号表示位置的变量,或者标签。
    • 可以用首字母去表示
    • 例如: A表示 Area区域, h表示height高, t表示time时间
  • (其他) 略

例子

例子1

先理解,有已知条件 2400ft 求 面积 A

根据下图,可以得到大体表达式: 已知 2x + y = 2400 求 A = xy = ? 的最大值

为了用一个变量表示, 我们可以得到 y = 2400 - 2x 带入 xy中得:

(注意: 这里 x>0, x<1200)

我们求导,可得:

我们可以得到 临界点 x = 600 并且对应的 A'(x)的符号是变化的

我们求对应的 A''(x) 的值, 可以得到: A''(x) = -4 < 0 我们知道是 凹向下, 有最大值

所以, 最大值为 A(600) = 720000


First Derivative Test for Absolute Extreme Values 一阶求导的最值验证

其实, 这个之前已经证明过, 只是在具体问题上,做下验证

例子:

找出抛物线 y^2 = 2x 上,离 P(1, 4)最近的点是哪个点? 我们设求 的这个点为 Q(x,y) 则,对应的距离为:

我们通过抛物线 y^2 = 2x, 可得, x = y^2/2 带入消元,得:

其实,距离平方时最小,距离也就最小,有

这个时候,我们求导,可以得到:

我们可以简单得到,当y=2的时候, f'(y) = 0 这个时候,我们看一下 y<2 , y>2 的时候,

f'(y) 的值 分别为 f'(y) <0 , f'(y) >0 所以,我们根据上面的【 一阶求导的最值验证】 我们可以知道,y=2的时候, f(y) 有最小值 也就是, 这个时候 距离 d 是最小的 这样我们可以求出 x = 2^2/2 = 2 也就是 曲线上 点(2,2) 离 点(1,4)最近

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