解决最大值,最小值等一系列的问题,通常可以用下面几部步骤:
例子1
先理解,有已知条件 2400ft 求 面积 A
根据下图,可以得到大体表达式: 已知 2x + y = 2400 求 A = xy = ? 的最大值
为了用一个变量表示, 我们可以得到 y = 2400 - 2x 带入 xy中得:
(注意: 这里 x>0, x<1200)
我们求导,可得:
由
我们可以得到 临界点 x = 600 并且对应的 A'(x)的符号是变化的
我们求对应的 A''(x) 的值, 可以得到: A''(x) = -4 < 0 我们知道是 凹向下, 有最大值
所以, 最大值为 A(600) = 720000
其实, 这个之前已经证明过, 只是在具体问题上,做下验证
找出抛物线 y^2 = 2x 上,离 P(1, 4)最近的点是哪个点? 我们设求 的这个点为 Q(x,y) 则,对应的距离为:
我们通过抛物线 y^2 = 2x, 可得, x = y^2/2 带入消元,得:
其实,距离平方时最小,距离也就最小,有
这个时候,我们求导,可以得到:
我们可以简单得到,当y=2的时候, f'(y) = 0 这个时候,我们看一下 y<2 , y>2 的时候,
f'(y) 的值 分别为 f'(y) <0 , f'(y) >0 所以,我们根据上面的【 一阶求导的最值验证】 我们可以知道,y=2的时候, f(y) 有最小值 也就是, 这个时候 距离 d 是最小的 这样我们可以求出 x = 2^2/2 = 2 也就是 曲线上 点(2,2) 离 点(1,4)最近