数据结构（一）：二叉树

定义

二叉树( binary tree )是有限节点集合构成的结构，其结构的递归定义为：

• 三个不相交的节点集合构成，一个作为根节点，一个节点集构成的二叉树作为根节点的左子树，另一个节点集构成的二叉树作为根节点的右子树
• 当节点数为零时，表示二叉树为空

所以节点个数为零的空树也是二叉树，二叉树根节点的左、右子树也是二叉树，其结构同样符合以上定义，当左子树为空树时，表示根节点没有左子节点。且二叉树区分左、右子树，以下两个二叉树为不同的二叉树。

one

another one

结构特性

首先说明下几个概念：

• 根节点： 没有父节点的节点；
• 叶子节点： 没有子节点的节点；
• 节点的度 ：节点的分支个数，二叉树每个节点的分支个数为 0~2；
• 路径：连接节点和后代子节点之间的不重复边；
• 节点的深度：从根节点到该节点的路径长；
• 节点的高度：从该节点到叶子节点的最大路径长；
• 节点的层数：父节点的层数加一；
• 树的高度：根节点高度。
• 树的深度：叶子节点深度的最大值。

关于高度和深度的起始值 0 或 1 的个人看法：

对于深度、高度和层数的起点值，可能有些地方基数是从1开始计算的。对于这个起点值的设置，个人觉得如果你高兴，从10086开始也无妨，因为在应用中，这些数据量只是为了方便计算，起作用的只是相对值而已。

为了方便理解，这里设置基数为0，深度可以认为是从水平面，也就是0深度，往下有几层，深度就是几；高度类似理解，地平面是0，往上有几层，高度就是几。

参考下图：

图片来源：What is the difference between tree depth and height?

满二叉树、完全二叉树、完美(理想)二叉树

关于完全二叉树和满二叉树的定义，因为最初翻译的不同，已经混淆很久了，所以已经属于一个历史问题了。这里尽量不去分辨哪一种定义是正确的，只按照个人的理解去描述。

• 满二叉树( Full Binary Tree )： 每个节点的度为 0 或 2，即除了叶子节点，每个节点都有两个子节点。

示例：

Full Binary Tree

• 完全二叉树( Complete Binary Tree )： 除深度最大的一层外，其他每层上的节点都是填充满的，且深度最大的一层节点分布从左向右是连续无间隔的。

示例：

Complete Binary Tree

• 完美/理想二叉树( Perfect Binary Tree )： 除叶子节点外，每个节点度都为 2，且叶子节点在同一层。

示例：

Perfect Binary Tree

以上概念参考：

• Binary tree
• Binary Tree | Set 3 (Types of Binary Tree)

二叉树数据量

下面介绍二叉树几个数据量之间的关系，变量声明如下：

d

：树的高度

n

：节点总数

n_0

：度为 0 的节点个数，即叶子节点个数

n_1

：度为 1 的节点个数

n_2

：度为 2 的节点个数

l_i

：第

i

层上节点个数

• 完美二叉树中，第

d

层上节点个数为：

l_d=2^{d}

proof： 1.第 0 层上，只有根节点，所以 0 层节点个数为：

l_0= 2^0

; 2.每层节点度都为 2 ，所以下一层的节点个数为：

l_i=l_{i-1}*2

； 3.所以第

d

层节点个数为：

l_d= l_{d-1}*2=l_0*2^{d}

。

• 深度为

d

的完美二叉树，节点总数为：

n=2^{d+1}-1

proof： 1.每层的节点个数

\{l_i\}

构成等比数列，公比为：

q=2

； 2.第 0 层节点个数

l_0=1

，所以总节点个数为：

n=l_0 \frac {1-q^{d+1}}{1-q}=2^{d+1}-1

• 深度为

d

的完美二叉树，非叶子节点和叶子节点的个数有：

n-n_0=n_0-1

，节点总数与叶子节点个数有：

n=2*n_0-1

proof： 深度为

d

的完美二叉树，则

d

层节点即为叶子节点，即：

l_d=n_0

，由以上结论可知，深度为

d

的完美二叉树，叶子节点个数为

l_d=2^{d}

，总节点个数为

n=2^{d+1}-1

，所以非叶子节点个数为：

n-n_0=n-l_d=2^{d+1}-1-2^{d}=2^{d}-1=n_0-1

，即：

n-n_0=n_0-1

，

n=2*n_0-1

• 对于普通的非空二叉树，叶子节点个数

n_0

与度为 2 的节点个数

n_2

关系为：

n_0=n_2+1

proof： 1.设度为 1 的节点个数为

n_1

，则节点总数

n=n_0+n_1+n_2

2.设二叉树中边的个数为

e

，有如下关系： 【1】树中除根节点外，每个节点都存在该节点到其父节点的一条边，即除根节点外，每个节点都对应着一条边，则有关系：

e=n-1

【2】树中每个节点度，表示该节点的子节点个数，也表示着该节点对应的边的个数，则有关系：

e=n_1+2*n_2

根据【1】【2】可知，有关系：

n-1=n_1+2*n_2

，根据 1 中

n=n_0+n_1+n_2

，则有：

n_0+n_1+n_2-1=n_1+2*n_2

，即：

n_0=n_2+1

，二叉树中叶子节点个数为度为 2 的节点个数加 1。