二分查找的相关算法题
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最近笔试经常遇到二分查找的相关算法题
1）旋转数组中的最小数字
2）在旋转数组中查找某个数
2）排序数组中某个数的出现次数
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下面我来一一总结
1 旋转数组的最小数字
| 题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3，4，5，1，2}为{1，2，3，4，5}的一个旋转，该数组的最小值为1. |
|:----|
实现数组的旋转见左旋转字符串。
和二分查找法一样，用两个指针分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。
我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还可以注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。我们试着用二元查找法的思路在寻找这个最小的元素。
首先我们用两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例。后面再讨论特例）。
接着我们得到处在数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间 元素的后面。我们可以把第一指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。同样，如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指 向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们可以把第二个指针指向该中间元素，这样同样可以缩小寻找的范围。我们接着再用更新之后的 两个指针，去得到和比较新的中间元素，循环下去。
按 照上述的思路，我们的第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最后第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素， 而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。
核心实现代码：
int Min(int *numbers , int length)
{
if(numbers == NULL || length <= 0)
return;
int index1 = 0;
int index2 = length - 1;
int indexMid = index1;
while(numbers[index1] >= numbers[index2])
{
if(index2 - index1 == 1)
{
indexMid = index2;
break;
}
indexMid = (index1 + index2) / 2;
//如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，则只能顺序查找
if(numbers[index1] == numbers[index2] && numbers[indexMid] == numbers[index1])
return MinInOrder(numbers , index1 , index2);
if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])
index1 = indexMid;
else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])
index2 = indexMid;
}
return numbers[indexMid];
}
//顺序查找
int MinInOrder(int *numbers , int index1 , int index2)
{
int result = numbers[index1];
for(int i = index1 + 1 ; i <= index2 ; ++i)
{
if(result > numbers[i])
result = numbers[i];
}
return result;
}注意：当两个指针指向的数字及他们中间的数字三者相同的时候，我们无法判断中间的数字是位于前面的字数组还是后面的子数组中，也就无法移动两个指针来缩小查找的范围。此时，我们不得不采用顺序查找的方法。
2 旋转数组中查找某个数字
要求
给定一没有重复元素的旋转数组（它对应的原数组是有序的），求给定元素在旋转数组内的下标（不存在的返回-1）。
例如
有序数组为｛0，1，2，4，5，6，7｝，它的一个旋转数组为｛4，5，6，7，0，1，2｝。
- 元素6在旋转数组内，返回2
- 元素3不在旋转数组内，返回-1
分析
遍历一遍，可以轻松搞定，时间复杂度为O(n)，因为是有序数组旋转得到，这样做肯定不是最优解。有序，本能反映用二分查找，举个例子看看特点
可以看出中间位置两段起码有一个是有序的（不是左边，就是右边），那么就可以在有序的范围内使用二分查找；如果不再有序范围内，就到另一半去找。
参考代码
int search(int A[], int n, int target) {
int beg = 0;
int end = n - 1;
while (beg <= end)
{
int mid = beg + (end - beg) / 2;
if(A[mid] == target)
return mid;
if(A[beg] <= A[mid])
{
if(A[beg] <= target && target < A[mid])
end = mid - 1;
else
beg = mid + 1;
}
else
{
if(A[mid] < target && target <= A[end])
beg = mid + 1;
else
end = mid - 1;
}
}
return -1;
}扩展
上边的有求是没有重复的元素，现在稍微扩展下，可以有重复的元素，其他的要求不变。
思路
大致思路与原来相同，这是需要比较Abeg 与 Amid的关系
- Abeg < Amid ————左边有序
- Abeg > Amid ————右边有序
- Abeg = Amid ————++beg
boolean search(int A[], int n, int target) {
int beg = 0;
int end = n - 1;
while (beg <= end)
{
int mid = beg + (end - beg) / 2;
if(A[mid] == target)
return true;
if(A[beg] < A[mid])
{
if(A[beg] <= target && target < A[mid])
end = mid - 1;
else
beg = mid + 1;
}
else 0if(A[beg] > A[mid])
{
if(A[mid] < target && target <= A[end])
beg = mid + 1;
else
end = mid - 1;
}
else
++beg;
}
return false;
}3 数字在排序数组中的出现次数
//二分查找，二分查找key第一次出现的位置，二分查找最后一次出现的key
//返回两者相减+1或者找到第一次出现的位置，向后查找int binarySearchFirstPos(int * iArr, int l, int h, int key)
{
while(l <= h )
{
int mid = (l + h) / 2;
if(iArr[mid] < key)
l = mid +1;
elseif(iArr[mid] > key)
h = mid - 1;
else
{
if(mid == l || iArr[mid - 1] != key)
return mid;
else
h = mid - 1;
}
}
return -1;
}
int binarySearchLastPos(int * iArr, int l, int h, int key)
{
while(l <= h)
{
int mid = (l + h) / 2;
if(iArr[mid] < key)
l = mid + 1;
elseif(iArr[mid] > key)
h = mid - 1;
else
{
if(mid == h || iArr[mid + 1] != key)
return mid;
else
l = mid + 1;
}
}
return -1;
}
int numOfKey(int * iArr, int length, int key)
{
int firstPos = binarySearchFirstPos(iArr, 0, length - 1, key);
int lastPos = binarySearchLastPos(iArr, 0, length - 1, key);
cout << firstPos << "\t" << lastPos << endl;;
if(firstPos == -1)
return0;
elsereturn lastPos - firstPos + 1;
}今天就写到这里了，睡觉了。
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