买卖股票最多K次

题目描述：

给定一个大小为n的数组，数组的元素a[i]代表第i天的股票价格。 设计一个算法，计算在最多允许买卖k次（一买一卖记为一次）的条件下的最大收益。 需要注意的是，你不能同时拥有两份股票。也就是说在下次买入前，你必须把手头上原有的股票先卖掉。

输入：

输入可能包含多个测试案例。 对于每个测试案例，输入的第一行为两个整数n和k(1<=n,k<=1000)。 输入的第二行包括n个整数，范围在[0,10000)，代表数组中的元素。

输出：

对应每个测试案例，输出最大获益。

样例输入：

5 1
3 4 5 1 4
7 2
1 2 3 5 6 1 7

样例输出：

3
11

一个简单的DP， 转移方程是：

f (i ,k ) = max{  f (i-1,k) ,  max {  f( j,k-1) + prices[i]-prices[ j]  |  0<=j<i } } , 

即，第i天不做生意，那么是f(i-1,k)，或者第i天要卖，那么这次买应该来自第j 天，所以是  f(j,k-1) +prices[i] - prices[j]  ，然后取最大值。

这个复杂度是 O ( N2 *K )的，很明显看到递归式中 后面枚举 j 的过程可以用单调队列优化的，这样最后复杂度是 O ( N * K ) 的。

先来个最直观的没有优化的好了嘛：

[cpp] view plaincopy

1. #include<iostream>
2. #include<cstdio>
3. #include<vector>
4. #include<string>
5. #include<cstring>
6. #include<climits>
7. #include<queue>
8. #include<map>
9. #include<algorithm>
10. using namespace std;  
12. int main()  
13. {  
14. int n,k;  
15. while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)  
16.     {  
17.         vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(k+1,0));  
18.         vector<int> prices(n,0);  
19. for(int i=0;i<n;i++)  
20.             scanf("%d",&prices[i]);  
21. for(int i=1;i<n;i++)  
22.         {  
23. for(int t=1;t<=k;t++)  
24.             {  
25. int mx=dp[i-1][t];  
26. for(int j=i-1;j>=0;j--)  
27.                     mx=max(mx,dp[j][t-1]+prices[i]-prices[j]);  
28.                 dp[i][t]=mx;  
29.             }  
30.         }  
31.         printf("%d\n",dp[n-1][k]);  
32.     }  
33. }  

然后发现居然一个用例都过不了，全超时，真是。。。不好说什么了，一个月赛几道题的其中一道，不至于这么卡数据吧。。。这月赛难度太大了吧。。。

然后就老老实实写个优化的呗，还是比较直观，用 preMax[k] 表示这个最小值。

关于单调队列的优化，同学们可以去找找资料来看，超级有用，一般都能把复杂度降低一个 N.

[cpp] view plaincopy

1. #include<iostream>
2. #include<cstdio>
3. #include<vector>
4. #include<string>
5. #include<cstring>
6. #include<climits>
7. #include<queue>
8. #include<map>
9. #include<algorithm>
10. using namespace std;  
12. int main()  
13. {  
14. int n,k;  
15. while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)  
16.     {  
17.         vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(k+1,0));  
18.         vector<int> prices(n,0);  
19.         vector<int> preMax(k+1,0);  
20. for(int i=0;i<n;i++)  
21.             scanf("%d",&prices[i]);  
22. for(int i=0;i<=k;i++)  
23.             preMax[i]=-prices[0];  
24. for(int i=1;i<n;i++)  
25.         {  
26.             preMax[0]=max(preMax[0],dp[i][0]-prices[i]);  
27. for(int t=1;t<=k;t++)  
28.             {  
29. int mx=dp[i-1][t];  
30.                 mx=max(mx,preMax[t-1]+prices[i]);  
31.                 preMax[t-1]=max(preMax[t-1],dp[i][t-1]-prices[i]);  
32.                 dp[i][t]=mx;  
33.             }  
34.         }  
35.         printf("%d\n",dp[n-1][k]);  
36.     }  
37. }