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CG005计算机图形学几何变换

几何变换(geometric transformation) :应用于对象几何描述并改变它的位置 方向或者大小的操作称之为几何变换,有时又称为几何变换。

平移 旋转 缩放 及基本的几何变换

二维变换

二维平移

$$ \begin{gather} P= \begin{Bmatrix} x \ y \end{Bmatrix}, P'=\begin{Bmatrix} x' \ y' \end{Bmatrix}, T=\begin{Bmatrix} t_x \ t_y \end{Bmatrix} \end{gather} $$

矩阵表示的二维平移方程:

P' = P + T

二维旋转

坐标采用极坐标方式更易于理解:

$$ \begin{gather} P= \begin{Bmatrix} r sinφ \ r cos φ \end{Bmatrix}, R=\begin{Bmatrix} cos θ & -sin θ \ sin θ & cos θ\end{Bmatrix} \end{gather} $$ P‘ = R P

二维缩放

二维缩放方程可以表达为: $$ \begin{gather} \begin{Bmatrix} x’ \ y‘ \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} s_x & 0 \0 & s_y \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} x \ y \end{Bmatrix} \end{gather} $$ 或

​ P' = S P

其中S 是等式中的 2 × 2 缩放矩阵

三维的在二维的基础上引申即可。

点和向量的区别

点是三维空间中的某个坐标,是绝对的,它的值是参照原点的,而向量用于表示力和速度等具有方向和大小的量, 通常用具有长度和方向的线段来表示,虽然他们都具有三个分量,但对于向量,如果将向量放在坐标系中的任何位置(平移),都不会改变其性质,因为向量表示的是方向和大小,与位置距离无关,它的值是相对与基准点的。下图是三维顶点和向量的数学符号或称为列矩阵。

齐次坐标

​ 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。 显然一个向量的齐次表示是不唯一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点。 比如齐次坐标[hx,hy,h] 表示的是 [x,y]. (h !=0)

​ 通过引入齐次坐标,可以将 图形的移动 旋转 缩放,都转化为矩阵的乘法。

1.png

简书不支持,latex 所以上面显示看起来有点麻烦~~~

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