logistic regression一点理解

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关于logistic regression一些常见问题，整理出来，方便大家应对各种坑爹的面试官。

01

为什么用sigmoid函数？

the odds of experiencing an event

如果我们想预测每天股票涨多少，可以假设线性模型

要解决这个问题，我们先理解一个概念the odds of experiencing an event： 假设我们认为股票涨的概率为p，对于伯努利分布而言，不涨的概率即为1-p。那么我们构造了p/(1-p)，就是the odds of experiencing an event胜率，

趋向负无穷。这就又转化为可以用线性模型预测的问题了：即为对数胜率。当我们坚信它会涨的情况下，p趋于1，

趋向正无穷；当我们坚信它不会涨的情况下，p趋向0，

趋于负无穷。这就又转化为可以用线性模型预测的问题了：

将

展开就可以得到：

。这就解释了为什么说logistic regression是线性模型，因为它的决策边界是线性的；这就解释了为什么想到了要用sigmoid作为压缩函数。

exponential model

就这一种办法么？当然不是： 假设第i个特征对涨的贡献是

，则记数据点(

，属于涨的概率为

，

正比于

；

假设第i个特征对不涨的贡献是

，则记数据点(

属于不涨的概率为

，正比于

所以，令涨=1则有：

，上下同除以

且令

，则依旧得到了

的sigmoid结果。

exponential family

如果大家对数学有点点研究的话，exponential family指出:如果一类分布（a class of distribution）属于exponential family，那么它能写成如下形式：

伯努利分布可以写成：

把后面的

展开，就有了sigmoid形式出现了：

对应上方的exponential family的形式，

，这不又回到了the odds of experiencing an event胜率的问题了嘛。

02

为什么要用交互熵做损失函数？

极大似然角度

我们假设预测结果服从伯努利分布，那么可以把一个case预测结果写成：

其中

为给定前提

下

率值要使当前参数下所有事情发生的概率最大，联合分布为各边缘分布的乘积，得到：

其中

取log后方便计算：

这个就是我们最初的交互熵的形式。

信息熵角度

熵

用来衡量信息量大小，熵越大，越不稳定，信息量越大。

KL散度

用来衡量两份数据的相似程度，KL散度越大，越不相似。

从公式上，我们就可以看出：

其实很好理解的，对应训练数据traindata分布，和未知的真实数据分布越一致越好；同理，模型预测的分布，和训练数据traindata分布也是越一致越好，所以用KL散度来度量就是一个不错的方法。

至于为什么不直接最小化

而是选择了最小化H(A,B)，我是觉得就和交互熵求导前面加上1/2一样，为了简化计算量，本质上是一致的。

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