深入理解向量进行矩阵变换的本质

先复习几个概念:

向量:

可以有以下两种理解:

  • 空间上的一个点
  • 空间上一段带有长度和方向的线段

向量的理解 上图表述的是平面上一点,在以i和j为基的坐标系里的几何表示,这个点可以看作(x,y)也可以看作是向量ox与向量oy的和。

矩阵:

就是长这个样子:

矩阵

矩阵和向量的乘法:

矩阵*向量

下面进入正题:

前面说过,某个向量可以看成一些标量倍的基向量的和。 比如,上面提到的那个向量,则是x倍的i向量+y倍的j向量,即xi+yj 那我们上面矩阵运算的结果则可以看成是ax+by+cx+dy 我们简单处理一下,则会得到(a+c)x +(b+d)y,是不是看上去就是这个矩阵对原始的x和y做了点什么。 那(a+c)和(b+d)又是什么呢?其实可以理解为他是一个新的基,为什么这么说呢,我们把刚才丢掉的两个数放里面就比较好理解了,如果i和j是老基的单位向量的话,那这个点的向量应该是(xi+yj)吧,上面其实说过了

向量的理解

那么完整的新向量应该是axi+byj+cxi+dyj 也就是(ai+ci)x+(bj+dj)y 对于老的基来说,这个点的x移动了(ai+ci)y方向移动了(bj+dj) 但是对于这个点来说,它一直都是(x,y)从来没有动过,动的只是基变了而已

所以:

综上我们得到的结论是:

  • 向量的矩阵变换,就是将空间上的点进行对应的移动
  • 亦或是点没有动,只是给这个点换了一个新的基而已 再总结一点直接上图:

新的基 顺便再盗个图。。。

基的变换 发现一个非常好的学高数的公众号,叫“马同学高等数学”,里面有些文章是收费的,但是看完之后觉得还真是挺形象的

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