神、上帝以及老天爷（递推） - HDU 248

Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的： 首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！” 大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！ 我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？ 不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？ 不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),< span="">表示参加抽奖的人数。</n<=20),<>

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

Sample Input

1

2

Sample Output

50.00%

要解决这个问题，你应该要了解错排：

问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法? 这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。--百度搜索

解决题目问题只需要：n个人错排种类/n个人总排列种类（n!）

那么问题就变为n个人错排种类

核心代码：

那么讨论一下错排问题的递推公式吧

假如说现在知道了i-1个人与i-2个人的错排种类数num[i-1]num[i-2]，现在加入一个人x变为i个人。那么此时如何实现错排呢?我们从x考虑，如果错排，x可以拿除他自己以外i-1个人的名字，即有i-1种情况，那么现在假设x拿了i-1人中y的名字，此时y拿了x的名字，那么y的名字肯可能在x手上也可能不在，如果在x手上，此时剩下i-2个人全部错排，如果不在x手上，除y以外i-1个人错排（因为x不能拿y，理解的时候可以把x看做y,与其他i-2个人错排），这样就考虑完全了。

代码如下：

#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
    int c,i;
    long long sum[30],num[30];
    sum[1]=1;
    num[0]=num[1]=0;num[2]=1;
    for(i=2;i<=20;i++)
       sum[i]=i*sum[i-1];
    for(i=3;i<=20;i++)
       num[i]=(i-1)*(num[i-1]+num[i-2]);
    cin>>c;
    while(c--)
    {
        int n;
        cin>>n;
        //注意长整型与百分号的输出格式
        printf("%.2llf%%\n",(double)num[n]/sum[n]*100);
    }
    return 0;
}

那么扩充一下（Hdu 2049思想）

如果不是n个人完全错排呢？假如n个人中有m个错排有多少种情况呢？

m个错排意味着其余n-m个人已经确定自己拿自己的名字，其余m个人单独错排即

num[m]*Cnm(即n中抽取n-m个已经确定了的人，其他人错排)