卡尔曼滤波器(Kalman Filters)
卡尔曼滤波器，这是一种使用噪声传感器测量（和贝叶斯规则）来生成未知量的可靠估计的算法（例如车辆可能在3秒内的位置）。
我们知道高斯方程包含两个主要参数：
- 一个是平均数
\mu
- 一个是方差，通常写为平方值
\sigma^2
。 一般来说，高斯方程是这样的：
p(x) = \frac{1}{{ \sqrt {2\pi \sigma ^2 } }}e^{{ - ( {x - \mu } )^2 }/{2\sigma ^2 }}
我们将该方程的第一部分称为 系数，第二部分称为 指数。第二部分在定义高斯的形状时最为重要，而系数是一个归一化因子。
对于不确定的连续数量，例如自动驾驶汽车的预估位置，我们使用高斯方程来表示该数量的不确定性。方差越小，我们对数量越有把握。
# import math functions
from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# gaussian function
def f(mu, sigma2, x):
''' f takes in a mean and squared variance, and an input x
and returns the gaussian value.'''
coefficient = 1.0 / sqrt(2.0 * pi *sigma2)
exponential = exp(-0.5 * (x-mu) ** 2 / sigma2)
return coefficient * exponential# an example Gaussian
gauss_1 = f(10, 4, 8)
print(gauss_1)绘制高斯分布图
由于我们的函数仅返回x的特定值的值，因此我们可以通过遍历x值范围并创建高斯分布值g的结果列表来绘制高斯分布图
# display a gaussian over a range of x values
# define the parameters
mu = 10
sigma2 = 4
# define a range of x values
x_axis = np.arange(0, 20, 0.1)
# create a corresponding list of gaussian values
g = []
for x in x_axis:
g.append(f(mu, sigma2, x))
# plot the result
plt.plot(x_axis, g)
新的均值和方差
该程序要接收两个均值和方差，并为高斯方程返回一个全新的、已更新的均值和方差。此步骤称为参数或测量更新，因为它是当初始置信度（由下面的蓝色高斯表示）与新信息（具有一定不确定性的测量，即橙色高斯））合并时发生的更新。 已知两个均值和方差:
( {\mu , \sigma^2 } ) , ({\ v , r ^2})
更新之后的公式：
\mu ' = \frac{r^2\mu+\sigma^2v}{r ^2+\sigma^2}
\sigma^ {2'} = \frac{1}{\frac{1}{r^2}+\frac{1}{\sigma^2}}
更新的高斯将是这两个高斯的组合，其中新的均值介于两者之间，并且方差小于两个给定方差中的最小值。这意味着在测量之后，我们的新均值比初始置信度更加确定！
# import math functions
from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# gaussian function
def f(mu, sigma2, x):
''' f takes in a mean and squared variance, and an input x
and returns the gaussian value.'''
coefficient = 1.0 / sqrt(2.0 * pi *sigma2)
exponential = exp(-0.5 * (x-mu) ** 2 / sigma2)
return coefficient * exponential
# the update function
def update(mean1, var1, mean2, var2):
''' This function takes in two means and two squared variance terms,
and returns updated gaussian parameters.'''
## TODO: Calculate the new parameters
new_mean = (var2 * mean1 + var1 * mean2) / (var1 + var2)
new_var = 1 / (1 / var1 + 1 / var2)
return [new_mean, new_var]
# display a gaussian over a range of x values
# define the parameters
mu = new_params[0]
sigma2 = new_params[1]
# define a range of x values
x_axis = np.arange(0, 20, 0.1)
# create a corresponding list of gaussian values
g = []
for x in x_axis:
g.append(f(mu, sigma2, x))
# plot the result
plt.plot(x_axis, g)
高斯函数移动
\mu +u \to \mu'
\sigma^2 + r^2 \to \sigma ^{2'}
收集一些新测量之后，执行参数更新，然后，下一步是将运动合并到我们的高斯计算中。回想一下，在我们判断机器人或自动驾驶汽车位置的时候：
- 测量更新增加了 我们的判断确定性
- 运动更新/预测降低了我们的判断确定性 这是因为每次运动都有可能未达到或超越预期目的位置，并且由于运动的不准确性，我们最终会在每次运动后失去对确切位置的判断确定性。
# import math functions
from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# gaussian function
def f(mu, sigma2, x):
''' f takes in a mean and squared variance, and an input x
and returns the gaussian value.'''
coefficient = 1.0 / sqrt(2.0 * pi *sigma2)
exponential = exp(-0.5 * (x-mu) ** 2 / sigma2)
return coefficient * exponential
# the update function
def update(mean1, var1, mean2, var2):
''' This function takes in two means and two squared variance terms,
and returns updated gaussian parameters.'''
# Calculate the new parameters
new_mean = (var2*mean1 + var1*mean2)/(var2+var1)
new_var = 1/(1/var2 + 1/var1)
return [new_mean, new_var]
# the motion update/predict function
def predict(mean1, var1, mean2, var2):
''' This function takes in two means and two squared variance terms,
and returns updated gaussian parameters, after motion.'''
## TODO: Calculate the new parameters
new_mean = mean1 + mean2
new_var = var1 + var2
return [new_mean, new_var]通过遍历一系列x值并创建高斯值 g的结果列表来绘制一个高斯图，如下所示。你可以尝试更改mu和sigma2的值，看一看会发生什么。
# display a gaussian over a range of x values
# define the parameters
mu = new_params[0]
sigma2 = new_params[1]
# define a range of x values
x_axis = np.arange(0, 40, 0.1)
# create a corresponding list of gaussian values
g = []
for x in x_axis:
g.append(f(mu, sigma2, x))
# plot the result
plt.plot(x_axis, g)
1D 卡尔曼滤波器代码
机器人在这个空间中移动时，它会通过执行以下循环来定位自己：
- 感测并执行测量更新任务
- 移动并执行动作更新任务 实现此滤波器后，你应该看到，一个非常不确定的位置高斯会变为一个越来越确定的高斯，如下图所示。
下面是常用的高斯方程和导入。
# import math functions
from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# gaussian function
def f(mu, sigma2, x):
''' f takes in a mean and squared variance, and an input x
and returns the gaussian value.'''
coefficient = 1.0 / sqrt(2.0 * pi *sigma2)
exponential = exp(-0.5 * (x-mu) ** 2 / sigma2)
return coefficient * exponential以下是update代码，该代码在合并初始置信度和新测量信息时执行参数更新。此外，完整的predict代码在合并一个运动后会对高斯值进行更新。
```python
# the update function
def update(mean1, var1, mean2, var2):
''' This function takes in two means and two squared variance terms,
and returns updated gaussian parameters.'''
# Calculate the new parameters
new_mean = (var2*mean1 + var1*mean2)/(var2+var1)
new_var = 1/(1/var2 + 1/var1)
return [new_mean, new_var]# the motion update/predict function
def predict(mean1, var1, mean2, var2):
''' This function takes in two means and two squared variance terms,
and returns updated gaussian parameters, after motion.'''
# Calculate the new parameters
new_mean = mean1 + mean2
new_var = var1 + var2
return [new_mean, new_var]初始不确定性
初始参数，其中包括初始位置估计mu 和平方方差sig。注意，初始估计设置为位置0，方差非常大；这是一种高度混乱的状态，就像我们在直方图滤波器中使用的 均匀 分布一样。
# measurements for mu and motions, U
measurements = [5., 6., 7., 9., 10.]
motions = [1., 1., 2., 1., 1.]
# initial parameters
measurement_sig = 4.
motion_sig = 2.
mu = 0.
sig = 10000.
## TODO: Loop through all measurements/motions
## Print out and display the resulting Gaussian
# your code here
## TODO: Loop through all measurements/motions
# this code assumes measurements and motions have the same length
# so their updates can be performed in pairs
for n in range(len(measurements)):
# measurement update, with uncertainty
mu, sig = update(mu, sig, measurements[n], measurement_sig)
print('Update: [{}, {}]'.format(mu, sig))
# motion update, with uncertainty
mu, sig = predict(mu, sig, motions[n], motion_sig)
print('Predict: [{}, {}]'.format(mu, sig))
# print the final, resultant mu, sig
print('\n')
print('Final result: [{}, {}]'.format(mu, sig))
## Print out and display the final, resulting Gaussian
# set the parameters equal to the output of the Kalman filter result
mu = mu
sigma2 = sig
# define a range of x values
x_axis = np.arange(-20, 20, 0.1)
# create a corresponding list of gaussian values
g = []
for x in x_axis:
g.append(f(mu, sigma2, x))
# plot the result
plt.plot(x_axis, g)
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原始发表：2018.10.16 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
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