第八篇：《机器学习之神经网络（三）》

（因后文学术性较强，部分内容参见吴恩达在斯坦福大学的讲义）

与世无争的吴恩达老师

本篇内容：神经网络算法的模型表示

通过本篇的学习您将了解到神经网络模型的数学结构

有一定数据结构基础的同学可以尝试用C/C++搭建模型

神经网络的数学模型表示1

网络模型的仿生原理

为了构建神经网络模型，我们需要首先思考大脑中的神经网络是怎样的？

每一个神经元都可以被认为是一个处理单元/神经核（processing unit/Nucleus），它含有许多输入/树突（input/Dendrite），并且有一个输出/轴突（output/Axon）。神经网络是大量神经元相互链接并通过电脉冲来交流的一个网络。

下面是一组神经元的示意图，神经元利用微弱的电流进行沟通。这些弱电流也称作动作电位，其实就是一些微弱的电流。所以如果神经元想要传递一个消息，它就会就通过它的轴突，发送一段微弱电流给其他神经元，这就是轴突。

这里是一条连接到输入神经，或者连接另一个神经元树突的神经，接下来这个神经元接收这条消息，做一些计算，它有可能会反过来将在轴突上的自己的消息传给其他神经元。这就是所有人类思考的模型：我们的神经元把自己的收到的消息进行计算，并向其他神经元传递消息。这也是我们的感觉和肌肉运转的原理。如果你想活动一块肌肉，就会触发一个神经元给你的肌肉发送脉冲，并引起你的肌肉收缩。如果一些感官：比如说眼睛想要给大脑传递一个消息，那么它就像这样发送电脉冲给大脑的。

神经网络的模型表示

神经网络模型建立在很多神经元之上，每一个神经元又是一个个学习模型。这些神经元（也叫激活单元，activation unit）采纳一些特征作为输出，并且根据本身的模型提供一个输出。下图是一个以逻辑回归模型作为自身学习模型的神经元示例，在神经网络中，参数又可被成为权重（weight）。

我们设计出了类似于神经元的神经网络，效果如下：

左侧的 x1,x2,x3 是输入单元（input units），我们将原始数据输入给它们。

中间单元a1(2),a2(2),a3(2)，它们负责将数据进行处理，然后呈递到下一层。

这里的数据处理其实就是逻辑回归的方法，比如a1(2)代表第二层神经元的第一个，它的值由上一层神经元和对应参数构成，可以看到，a1(2)通过三条线连接了左侧的神经元x1,x2,x3，每一条线其实就是一个参数值，它的深层含义是：该神经元对于下一层的对应神经元的影响力

从中间层开始每一个神经元都是上一层神经元们逻辑回归的结果，以及下一层逻辑回归的特征值

最后是输出单元，它负责计算。

神经网络模型是许多逻辑单元按照不同层级组织起来的网络，每一层的输出变量都是下一层的输入变量。下图为一个3层的神经网络，第一层成为输入层（Input Layer），最后一层称为输出层（Output Layer），中间一层成为隐藏层（Hidden Layers）。我们为每一层都增加一个偏差单位（bias unit）：

下面引入一些标记法来帮助描述模型：

ai(j) 代表第 j 层的第 i 个激活单元。theta(j) 代表从第 j 层映射到第 j+1 层时的权重的矩阵，例如 theta(1) 代表从第一层映射到第二层的权重的矩阵。其尺寸为：以第 j+1 层的激活单元数量为行数，以第 j 层的激活单元数加一为列数的矩阵。例如：上图所示的神经网络中 theta(1) 的尺寸为 3*4。

对于上图所示的模型，激活单元和输出分别表达为：

上面进行的讨论中只是将特征矩阵中的一行（一个训练实例）喂给了神经网络，我们需要将整个训练集都喂给我们的神经网络算法来学习模型。

我们可以知道：每一个 a 都是由上一层所有的 x 和每一个 x 所对应的权重 theta 决定的。

（我们把这样从左到右的算法称为前向传播算法( FORWARD PROPAGATION )）

神经网络的数学模型表示2

前向传播算法( FORWARD PROPAGATION ) 相对于使用循环来编码，利用向量化的方法会使得计算更为简便。以上面的神经网络为例，试着计算第二层的值：

这只是针对训练集中一个训练实例所进行的计算。如果我们要对整个训练集进行计算，我们需要将训练集特征矩阵进行转置，使得同一个实例的特征都在同一列里。即：

为了更好了了解Neuron Networks的工作原理，我们先把左半部分遮住：

右半部分其实就是以, 按照Logistic Regression的方式输出：

logistic regression ——逻辑回归

我们可以 a0,a1,a2,a3 把看成更为高级的特征值，也就是 x0,x1,x2,x3 的进化体，并且它们是由 x 与 theta 决定的，因为是梯度下降的，所以是变化的，并且变得越来越厉害，所以这些更高级的特征值远比仅仅将 次方厉害，也能更好的预测新数据。

这就是神经网络相比于逻辑回归和线性回归的优势。

~o给喜欢机器学习的同学们的福利o~

《斯坦福大学吴恩达机器学习讲义》