计算机是如何实现加法的

先回顾一下那些常见的逻辑操作：

1、AND（与）运算：

只有输入都为1时结果才为1

电器符号：

and.png

2、OR（或）运算：

有一个输入为1时结果就为1

电器符号：

OR.png

3、NOR（或非）运算：

对或操作结果取反

电器符号:

nor.png

4、NAND（与非）：

对与操作结果取反

电器符号:

NAND.png

利用这些非常简单的门电路我们就可以实现CPU中最关键单元加法器。

二、一位二进制的加法

先来看一下只有一位的二进制数的加法是如何实现。一位的加法结果，如下表所示：

我们把结果分为个位和十位两个部分来看一下。先单独看一下十位的结果：

这个看着这么眼熟，这个不就是与运算吗，十位的计算如此简单只需要一个与运算：

add_1.png

搞定了十位我们再来看一下个位，先看一下个位的运算结果：

我们除去右下角看其他部分，和或运算结果是完全一致的。再单独看一下右下角，输入都为1时输出为0这不就是与非的操作结果吗。那我们将输入同时给到或门和与非门看下他们的输出：

add_xor_result.png

再看一下这个输出，将或门和与非门的输出看为输入将我们想要的结果看为输出，其正好符合与运算，所以我们只要将输出再合并到与门的输入，就完成了个位的运算：

xor_2.png

这个组合就是异或门，简写XOR，当且仅当两个输入不一致时输出1。符号为：

xor.png

现在个位和十位（近位）的计算都实现了，我们把这两个结合在一起就实现了一位的二进制加法：

add.png

这组合称为半加法器，但每次都画这么多也不方便所以单独设定一个符号：

add_2.png

三、带进位的加法：

对于两位以上二进制加法，例如11+11，是需要将进位也加上的，但半加器只能计算一位的加法，它的输入也并没有上一位的进位。所以要实现多位的加法需要先实现进位相加。

先来看一下带进位的加和输出是如何得到的，处理方式和我们平时计算是一样的：：

1. 现在有输入A，B和进位输入C0
2. 对输入A和B计算得到加和输出S1和近位输出C1。
3. 将上面得到的加和S1和进位输入C0相加，就得到加和S2和近位输出C2，那么S2就是加和输出。

和我们小学时学的计算一毛一样

再来看一下进位输出如何计算的：

我们知道，对于A、B和C0三个输入最大就是三个都为1和为11的情况，所以最多也就产生一个为1的进位。那现在就很明了，这进位要么在计算A加B是产生（A和B都是1）要么在加进位是产生（A和B其中只有一个为1，进位输入为1），所以只要将两次加和的进位输出做一次或运算，就取得了进位输出。

最终电路图如下：

add.png

这组合称为全加器，但个符号还是有点复杂了，所以有个特定符合：

add.png

四、多位的加法

前面已经实现了进位相加，那么多位加法就非常简单了。和我们平时计算一样，将上一位的进位给到下一位，第一位可看做进位为0。多位加法实现也是如此，将上一位的进位输出作为下一位的进位输入，第一位进位输入0。如下图：

add.png

还是一样的这个图画起来太复杂了，给个简单的：

add.png

五、超前进位加法器：

上面实现的加法器，运算时除第一位外其他位运算都依赖上一位的进位输出，只有等上一位计算完成后给出进位值，该位的计算才是正确的，所以这又被称为波进位加法器。

但其实对于上一位的进位输出是可以根据输入自己去计算得到的，即某一位An可以利用前面几位A1、A2、...、An-1计算得到不必等待，虽然这样使计算更多了但实际的速度确是提升的。这样加法的实现称为超前进位加法。

add.png