小波变换一之Haar变换
注：
- 小波变换系列博文打算记录自己学习小波变换的心路历程，每篇博文尽量简短，宗旨是用最少的数学公式说明白如何使用小波变换
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Haar变换
案例一简单一维信号变换
下面是一个一维信号（一组数）：f={2,2,2,4,4,4}f = \{2, 2, 2, 4, 4, 4\}f={2,2,2,4,4,4}
我对这个信号进行如下处理：
am=2f2m−1+f2m2=f2m−1+f2m2a_m = \sqrt{2}\frac{f_{2m-1}+f_{2m}}{2} = \frac{f_{2m-1}+f_{2m}}{\sqrt{2}}am=22f2m−1+f2m=2f2m−1+f2m（相邻两个数相加，求平均，然后乘以2\sqrt{2}2）
dm=2f2m−1−f2m2=f2m−1−f2m2d_m = \sqrt{2}\frac{f_{2m-1}-f_{2m}}{2} = \frac{f_{2m-1}-f_{2m}}{\sqrt{2}}dm=22f2m−1−f2m=2f2m−1−f2m（相邻两个数相减，求平均，然后乘以2\sqrt{2}2）
注：至于为什么要乘以2\sqrt{2}2呢？我们这里先不解释，放到后面再说。
然后按照先aaa后ddd的顺序排列a1,a2,...,aN/2,d1,d2,...,dN/2{a_1,a_2,...,a_{N/2}, d_1, d_2, ..., d_{N/2}}a1,a2,...,aN/2,d1,d2,...,dN/2（NNN是离散信号中的值的个数）
则，a={22,32,42}a = \{2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}\}a={22,32,42}，d={0,−2,0}d=\{0, -\sqrt{2}, 0\}d={0,−2,0}
我们可以得到结果：tf={22,32,42,0,−2,0}tf = \{2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2}, 0\}tf={22,32,42,0,−2,0}
这就是传说中的Haar变换了……
aaa表示的是信号的趋势（trend），近似（approximation），是低频信息；而ddd表示的是信号的细节（detail），是高频信息。
那么我们怎么变回去呢？我们对变换以后的信号进行如下处理：
f2m−1=2am+dm2=am+dm2f_{2m-1} = \sqrt{2}\frac{a_m +d_m}{2} = \frac{a_m +d_m}{\sqrt{2}}f2m−1=22am+dm=2am+dm（第mmm个aaa和ddd相加，求平均，然后乘以2\sqrt{2}2）
f2m=2am−dm2=am−dm2f_{2m} = \sqrt{2}\frac{a_m -d_m}{2} = \frac{a_m -d_m}{\sqrt{2}}f2m=22am−dm=2am−dm （第mmm个aaa和ddd相减，求平均，然后乘以2\sqrt{2}2）
我们可以得到结果if={2,2,2,4,4,4}if = \{2, 2, 2, 4, 4, 4\}if={2,2,2,4,4,4}
这样就是Haar变换的逆变换。
通过观察，我们可以发现：
- ddd中的数字绝大部分都很小（这是做信息压缩很重要的依据）
- 变换前后信号的能量保持不变，即∑fi2=∑am2+∑di2\sum{f_i^2} = \sum{a_m^2} + \sum{d_i^2}∑fi2=∑am2+∑di2（有兴趣的同学可以算一下对于fff和tftftf的能量都是60，刚好相等）
案例二多分辨率一维信号变换
我们可以按照上面的思路将信号对得到的低频信号（aaa）一直一直划分下去，直到log2N\mathrm{log}_2Nlog2N（离散信号的值的数目不是偶数的，可以在后面补0）
给定如下的一个信号：f(t)=20x2(1−x)4cos(12πx)f(t) = 20x^2(1-x)^4\cos(12\pi x)f(t)=20x2(1−x)4cos(12πx)
我们通过在[0, 1]之间取样1024个点可以得到信号的振幅，绘制出信号图像如下：
我们可以通过案例一种描述的方法进行Haar变换，我们这里对f(t)f(t)f(t)信号进行两次Haar变换，如下图所示：
这是多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）以及图像压缩（JPEG2000编码）等的基础理念，这里现有一个大概理解，后面我们会继续谈到。
变换的结果如下（感兴趣的朋友可以使用Mathematica或者MATLAB是一样，这两个数学软件都提供了对Haar变换的直接支持）：
好了，这一节先到这里，我们以后有时间慢慢聊！