BAT算法面试题(11)--最长的斐波那契子序列的长度(动态规划法)

小编温馨提示,今天是我们坚持学习算法的第11天!

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一.面试题目

如果序列X_1,X_2,...,X_n 满足下列条件,就说它是 斐波拉契式的:

• n >= 3
• 对于所有 i+2 <= n ,都有X_i + X_{i+1} = X_{i+2} ;

给定一个严格递增的正整数数组形成序列.找到A中最长的斐波拉契式子序列的长度.如果一个不存在,返回0.比如,子序列是从原序列A中派生出来的.它从A中删除任意数量的元素.而不改变其元素的顺序.例如[3,5,8]是[3,4,5,6,7,8]的子序列.

二.案例

案例(1)

• 输入:[1,2,3,4,5,6,7,8]
• 输出: 5
• 原因: 最长的斐波拉契式子序列: [1,2,3,5,8]

案例(2)

• 输入:[1,3,7,11,12,14,18]
• 输出: 3
• 原因: 最长的斐波拉契式子序列: [1,11,12],[3,11,14],[7,11,18]

三.解决方案-- 使用Set(集合)暴力法

• 思路

将斐波拉契式的子序列中的2个连续项A[i],A[j] 视为单个结点(i,j).整个子序列是这些连续结点的之间的路径.例如,对于斐波拉契式的子序列,(A[1] = 2,A[2] = 3,A[4] = 5,A[7] = 8,A[10] = 13),结点的路径就为(1,2)<->(2,3)<->(4,7)<->(7,10).

这样做的目的,只有当A[i]+A[j] == A[k]时.两结点(i,j)和(j,k)才是连贯的.我们需要这个信息才能知道它们之间是可以连通的.

• 算法

设longest[i,j] 是结束在[i,j]的最长路径.那么如果(i,j)和(j,k)是连通的,longest[j,k] = longest[i,j]+1.由于 i 是由A.index(A[k] - A[j]) 唯一确定的.我们在 i 检查每组j < k ,并相应更新longest[j,k]

四.代码

五.复杂度分析

• 时间复杂度: O(N^2),其中N指的是A的长度
• 空间复杂度: O(NlogM),其中M是A中的最大的元素.

六.学习建议

• 先了解基本思路
• 在带着数据,理解代码的执行

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