机器学习中的常见问题——损失函数
一、分类算法中的损失函数
在分类算法中，损失函数通常可以表示成损失项和正则项的和，即有如下的形式：
J(w)=∑iL(mi(w))+λR(w)
J\left ( \mathbf{w} \right )=\sum_{i}L\left ( m_i\left (\mathbf{ w} \right ) \right )+\lambda R\left ( \mathbf{w} \right )
其中，L(mi(w))L\left ( m_i\left (\mathbf{ w} \right ) \right )为损失项，R(w)R\left ( \mathbf{w} \right )为正则项。mim_i的具体形式如下：
mi=y(i)fw(x(i))
m_i=y^{\left ( i \right )}f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )
y(i)∈{−1,1}
y^{\left ( i \right )}\in \left \{ -1,\;1 \right \}
fw(x(i))=wTx(i)
f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{(i)}
对于损失项，主要的形式有：
- 0-1损失
- Log损失
- Hinge损失
- 指数损失
- 感知损失
1、0-1损失函数
在分类问题中，可以使用函数的正负号来进行模式判断，函数值本身的大小并不是很重要，0-1损失函数比较的是预测值fw(x(i))f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )与真实值y(i)y^{\left ( i \right )}的符号是否相同，0-1损失的具体形式如下：
L01(m)={01 if m⩾0 if m<0
L_{01}\left ( m \right )=\begin{cases} 0 & \text{ if } m\geqslant 0 \\ 1 & \text{ if } m< 0 \end{cases}
以上的函数等价于下述的函数：
12(1−sign(m))
\frac{1}{2}\left ( 1-sign\left ( m \right ) \right )
0-1损失并不依赖mm值的大小，只取决于mm的正负号。0-1损失是一个非凸的函数，在求解的过程中，存在很多的不足，通常在实际的使用中将0-1损失函数作为一个标准，选择0-1损失函数的代理函数作为损失函数。
2、Log损失函数
2.1、Log损失
Log损失是0-1损失函数的一种代理函数，Log损失的具体形式如下：
log(1+exp(−m))
log\left ( 1+exp\left ( -m \right ) \right )
运用Log损失的典型分类器是Logistic回归算法。
2.2、Logistic回归算法的损失函数
对于Logistic回归算法，分类器可以表示为：
p(y∣x;w)=σ(wTx)y(1−σ(wTx))(1−y)
p\left ( y\mid \mathbf{x}; \mathbf{w} \right )=\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x} \right )^y\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x} \right ) \right )^{\left ( 1-y \right )}
其中，y∈{0,1}y\in \left \{ 0,1 \right \}。为了求解其中的参数w \mathbf{w}，通常使用极大似然估计的方法，具体的过程如下：
1、似然函数
L(w)=∏i=1nσ(wTx(i))y(i)(1−σ(wTx(i)))(1−y(i))
L\left ( \mathbf{w} \right )=\prod_{i=1}^{n}\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )^{y^{\left ( i \right )}}\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )^{\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )}
其中，
σ(x)=11+exp(−x)
\sigma \left ( x \right )=\frac{1}{1+exp\left ( -x \right )}
2、log似然
logL(w)=∑i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1−y(i))log(1−σ(wTx(i)))
logL\left ( \mathbf{w} \right )=\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}log\left ( \sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )+\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )log\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )\right )
3、需要求解的是使得log似然取得最大值的w \mathbf{w}，可以转换为求最小值：
−logL(w)=−∑i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1−y(i))log(1−σ(wTx(i)))
-logL\left ( \mathbf{w} \right )=-\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}log\left ( \sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )+\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )log\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )\right )
这便是交叉熵的具体形式。
2.3、两者的等价
由于Log损失的具体形式为：
log(1+exp(−m))
log\left ( 1+exp\left ( -m \right ) \right )
其中，m=y(i)wTx(i)m=y^{\left ( i \right )}\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}，y(i)∈{−1,1}y^{\left ( i \right )}\in \left \{ -1,1 \right \}，Log损失函数的具体形式为：
minw∑i=1nlog{1+exp(−y(i)wTx(i))}
\underset{\mathbf{w}}{min}\sum_{i=1}^{n}log\left \{ 1+exp\left ( -y^{\left ( i \right )}\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right \}
Logistic回归与Log损失具有相同的形式，故两者是等价的。Log损失与0-1损失的关系可见下图。
3、Hinge损失函数
3.1、Hinge损失
Hinge损失是0-1损失函数的一种代理函数，Hinge损失的具体形式如下：
max(0,1−m)
max\left ( 0,1-m \right )
运用Hinge损失的典型分类器是SVM算法。
3.2、SVM的损失函数
对于软间隔支持向量机，允许在间隔的计算中出现少许的误差ξ⃗ =(ξ1,⋯,ξn)\vec{\xi }=\left ( \xi _1,\cdots ,\xi _n \right )，其优化的目标为：
minw,γ,ξ[12∥w∥2+C∑i=1nξi]
\underset{\mathbf{w},\gamma ,\xi }{min}\left [ \frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2+C\sum_{i=1}^{n}\xi _i \right ]
约束条件为：
(wTx(i)+γ)y(i)⩾1−ξi,ξi≥0
\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma \right )y^{\left ( i \right )}\geqslant 1-\xi _i,\; \xi _i\geq 0
3.3、两者的等价
对于Hinge损失：
max(0,1−m)
max\left ( 0,1-m \right )
优化的目标是要求：
minw[∑i=1nmax(0,1−fw(x(i))y(i))]
\underset{\mathbf{w}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,1-f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]
在上述的函数fw(x(i))f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )中引入截距γ\gamma ，即：
fw,γ(x(i))=wTx(i)+γ
f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma
并在上述的最优化问题中增加L2L_2正则，即变成：
minw,γ[C∑i=1nmax(0,1−fw,γ(x(i))y(i))+12∥w∥2]
\underset{\mathbf{w},\gamma }{min}\; \left [ C\sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right )+\frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2 \right ]
至此，令下面的不等式成立：
max(0,1−fw,γ(x)y)=minξξ
max\left ( 0,1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x} \right )y \right )=\underset{\xi }{min}\xi
约束条件为：
ξ⩾1−fw,γ(x)y;ξ⩾0
\xi \geqslant 1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x} \right )y;\xi \geqslant 0
则Hinge最小化问题变成：
minw,γ,ξ[C∑i=1nξi+12∥w∥2]
\underset{\mathbf{w},\gamma ,\xi }{min}\; \left [ C\sum_{i=1}^{n}\xi _i+\frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2 \right ]
约束条件为：
ξi⩾1−(wTx(i)+γ)y(i);ξi⩾0
\xi _i\geqslant 1-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma \right )y^{\left ( i \right )};\xi _i\geqslant 0
这与软间隔的SVM是一致的，说明软间隔SVM是在Hinge损失的基础上增加了L2L_2正则。
4、指数损失
4.1、指数损失
指数损失是0-1损失函数的一种代理函数，指数损失的具体形式如下：
exp(−m)
exp\left ( -m \right )
运用指数损失的典型分类器是AdaBoost算法。
4.2、AdaBoost基本原理
AdaBoost算法是对每一个弱分类器以及每一个样本都分配了权重，对于弱分类器φj\varphi _j的权重为：
θj=12log1−R(φj)R(φj)
\theta _j=\frac{1}{2}log\frac{1-R\left ( \varphi _j \right )}{R\left ( \varphi _j \right )}
其中，R(φj)R\left ( \varphi _j \right )表示的是误分类率。对于每一个样本的权重为：
wi=exp(−f(x(i)y(i)))∑n[exp(−f(x(i)y(i)))]
w_i=\frac{exp\left ( -f\left ( x^{\left ( i \right )}y^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\sum_{n}\left [ exp\left ( -f\left ( x^{\left ( i \right )}y^{\left ( i \right )} \right ) \right ) \right ]}
最终通过对所有分类器加权得到最终的输出。
4.3、两者的等价
对于指数损失函数：
exp(−m)
exp\left ( -m \right )
可以得到需要优化的损失函数：
minθ[∑i=1nexp(−fθ(x(i))y(i))]
\underset{\mathbf{\theta }}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}exp\left ( -f_\mathbf{\theta }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]
假设f~\tilde{f}表示已经学习好的函数，则有：
minθ,φ[∑i=1nexp(−{f~θ(x(i))+θφ(x(i))}y(i))]
\underset{\mathbf{\theta },\varphi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}exp\left ( -\left \{ \tilde{f}_\mathbf{\theta }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )+\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right \}y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]
=minθ,φ[∑i=1nwi~exp(−θφ(x(i))y(i))]
=\underset{\mathbf{\theta },\varphi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}exp\left ( -\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]
而：
∑i=1nwi~exp(−θφ(x(i))y(i))={exp(θ)−exp(−θ)}∑i=1nwi~2(1−φ(x(i))y(i))+exp(−θ)∑i=1nwi~
\sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}exp\left ( -\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )\\ =\left \{ exp\left ( \theta \right ) - exp\left ( -\theta \right ) \right \}\sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w_i}}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )+exp\left ( -\theta \right )\sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}
通过最小化φ\varphi ，可以得到：
φ^=argminφ∑i=1nw~i2(1−φ(x(i))y(i))
\hat{\varphi }=\underset{\varphi }{argmin}\sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w}_i}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )
将其代入上式，进而对θ\theta 求最优解，得：
θ^=12log1−R^R^
\hat{\theta }=\frac{1}{2}log\frac{1-\hat{R}}{\hat{R}}
其中，
R^={∑i=1nw~i2(1−φ(x(i))y(i))}/{∑i=1nw~i}
\hat{R}=\left \{ \sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w}_i}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) \right \}/\left \{ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w}_i \right \}
可以发现，其与AdaBoost是等价的。
5、感知损失
5.1、感知损失
感知损失是Hinge损失的一个变种，感知损失的具体形式如下：
max(0,−m)
max\left ( 0,\; -m \right )
运用感知损失的典型分类器是感知机算法。
5.2、感知机算法的损失函数
感知机算法只需要对每个样本判断其是否分类正确，只记录分类错误的样本，其损失函数为：
minw,b[−∑i=1ny(i)(wTx(i)+b)]
\underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\left [ -\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} + \mathbf{b}\right ) \right ]
5.3、两者的等价
对于感知损失：
max(0,−m)
max\left ( 0,\; -m \right )
优化的目标为：
minw[∑i=1nmax(0,−fw(x(i))y(i))]
\underset{\mathbf{w}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,-f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]
在上述的函数fw(x(i))f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )中引入截距b\mathbf{b}，即：
fw,γ(x(i))=wTx(i)+b
f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b}
上述的形式转变为：
minw,b[∑i=1nmax(0,−(wTx(i)+b)y(i))]
\underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]
对于max函数中的内容，可知：
max(0,−(wTx(i)+b)y(i))⩾0
max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right )\geqslant 0
对于错误的样本，有：
max(0,−(wTx(i)+b)y(i))=−(wTx(i)+b)y(i)
max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right )= -\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )}
类似于Hinge损失，令下式成立：
max(0,−fw,b(x)y)=minξξ
max\left ( 0,-f_{\mathbf{w},\mathbf{b} }\left ( \mathbf{x} \right )y \right )=\underset{\xi }{min}\xi
约束条件为：
ξ⩾−fw,b(x)y
\xi \geqslant -f_{\mathbf{w},\mathbf{b} }\left ( \mathbf{x} \right )y
则感知损失变成：
minξ[∑i=1nξi]
\underset{\xi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}\xi _i\right ]
即为：
minw,b[−∑i=1ny(i)(wTx(i)+b)]
\underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\left [ -\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} + \mathbf{b}\right ) \right ]
Hinge损失对于判定边界附近的点的惩罚力度较高，而感知损失只要样本的类别判定正确即可，而不需要其离判定边界的距离，这样的变化使得其比Hinge损失简单，但是泛化能力没有Hinge损失强。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
xmin, xmax = -4, 4
xx = np.linspace(xmin, xmax, 100)
plt.plot([xmin, 0, 0, xmax], [1, 1, 0, 0], 'k-', label="Zero-one loss")
plt.plot(xx, np.where(xx < 1, 1 - xx, 0), 'g-', label="Hinge loss")
plt.plot(xx, np.log2(1 + np.exp(-xx)), 'r-', label="Log loss")
plt.plot(xx, np.exp(-xx), 'c-', label="Exponential loss")
plt.plot(xx, -np.minimum(xx, 0), 'm-', label="Perceptron loss")
plt.ylim((0, 8))
plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel(r"Decision function $f(x)$")
plt.ylabel("$L(y, f(x))$")
plt.show()