《机器学习技法》学习笔记15——矩阵分解

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线性网络模型

Netflix在2006年给出了一个数据集 （用户id，电影id，电影评分） 让我们来预测用户未评分的电影评分分数。 我们可以讲用户id进行二分向量编码，然后同意用户的电影评分组成一个向量，即得到：

因为向量x只有一个值为1，所以模型可以变成：

而对于某一个电影的预测评分可以写作：

矩阵分解基础

损失函数为：

我们可以讲电影评分预测看作矩阵分解：

交替最小二乘法（ALS） 我们使用用户喜好特征矩阵U(m∗k)U(m*k)中的第i个用户的特征向量uiu_i，和产品特征矩阵V(n∗k)V(n*k)第j个产品的特征向量vjv_j来预测打分矩阵A(m∗n)A(m*n)中的aija_{ij}。我们可以得出一下的矩阵分解模型的损失函数为： C=∑(i,j)∈R[(aij−uivTj)2+λ(u2i+v2j)]\large C = \sum\limits_{(i,j)\in R}[(a_{ij} - u_iv_j^T)^2+\lambda(u_i^2+v_j^2)] 有了损失函数之后，下面就开始介绍优化方法。通常的优化方法分为两种：交叉最小二乘法（alternative least squares）和随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。Spark使用的是交叉最小二乘法（ALS）来最优化损失函数。算法的思想就是：我们先随机生成然后固定它求解，再固定求解，这样交替进行下去，直到取得最优解min(C)min(C)。因为每步迭代都会降低误差，并且误差是有下界的，所以 ALS 一定会收敛。但由于问题是非凸的，ALS 并不保证会收敛到全局最优解。但在实际应用中，ALS 对初始点不是很敏感，是否全局最优解造成的影响并不大。 算法的执行步骤：

• 先随机生成一个。一般可以取0值或者全局均值。
• 固定，即认为是已知的常量，来求解： C=∑(i,j)∈R[(aij−u(0)ivTj)2+λ((u2i)(0)+v2j)]\large C = \sum\limits_{(i,j)\in R}[(a_{ij} - u_i^{(0)}v_j^T)^2+\lambda((u_i^2)^{(0)}+v_j^2)] 由于上式中只有vjv_j一个未知变量，因此C的最优化问题转化为最小二乘问题，用最小二乘法求解vjv_j的最优解： 固定j,j∈(1,2,...,n) j , j\in (1,2,...,n)，则：等式两边关于为vjv_j求导得： d(c)d(vj)\large \frac{d(c)}{d(v_j)} =dd(vj)(∑i=1m[(aij−u(0)ivTj)2+λ((u2i)(0)+v2j)])\large= \frac{d}{d(v_j)}(\sum\limits_{i=1}^{m}[(a_{ij} - u_i^{(0)}v_j^T)^2+\lambda((u_i^2)^{(0)}+v_j^2)]) =∑i=1m[2(aij−u(0)ivTj)(−(uTi)(0))+2λvj]\large= \sum\limits_{i=1}^m[2(a_{ij} - u_i^{(0)}v_j^T)(- (u_i^T)^{(0)})+2\lambda v_j] =2∑i=1m[(u(0)i(uTi)(0)+λ)vj−aij(uTi)(0)]\large= 2\sum\limits_{i=1}^m[( u_i^{(0)}(u_i^T)^{(0)}+\lambda)v_j-a_{ij}(u_i^T)^{(0)}] 令d(c)d(vj)=0\large \frac{d(c)}{d(v_j)} =0，可得： ∑i=1m[(u(0)i(uTi)(0)+λ)vj]=∑i=1maij(uTi)(0)\large\sum\limits_{i=1}^m[( u_i^{(0)}(u_i^T)^{(0)}+\lambda)v_j]=\sum\limits_{i=1}^m a_{ij}(u_i^T)^{(0)} =>(U(0)(UT)(0)+λE)vj=aTjU(0)\large => (U^{(0)}(U^T)^{(0)} + \lambda E)v_j = a_j^TU^{(0)} 令 M1=U(0)(UT)(0)+λE,M2=aTjU(0)M_1 = U^{(0)}(U^T)^{(0)} + \lambda E , M_2 = a_j^TU^{(0)}，则vj=M−11M2v_j = M_1^{-1}M_2 按照上式依次计算v1，v2，...，vnv_1，v_2，...，v_n，从而得到V(0)V^{(0)}
• 同理，用步骤2中类似的方法: C=∑(i,j)∈R[(aij−ui(vTj)(0))2+λ(u2i+(v2j)(0))]\large C = \sum\limits_{(i,j)\in R}[(a_{ij} - u_i(v_j^T)^{(0)})^2+\lambda(u_i^2+(v_j^2)^{(0)})] 固定i,i∈(1,2,...,m) i , i\in (1,2,...,m)，则：等式两边关于为uiu_i求导得： d(c)d(ui)\large \frac{d(c)}{d(u_i)} =dd(ui)(∑j=1n[(aij−ui(vTj)(0))2+λ((u2i)+(v2j)(0))])\large= \frac{d}{d(u_i)}(\sum\limits_{j=1}^{n}[(a_{ij} - u_i(v_j^T)^{(0)})^2+\lambda((u_i^2)+(v_j^2)^{(0)})]) =∑j=1n[2(aij−ui(vTj)(0))(−(vTj)(0))+2λui]\large= \sum\limits_{j=1}^n[2(a_{ij} - u_i(v_j^T)^{(0)})(- (v_j^T)^{(0)})+2\lambda u_i] =2∑j=1n[(v(0)j(vTj)(0)+λ)ui−aij(vTj)(0)]\large= 2\sum\limits_{j=1}^n[( v_j^{(0)}(v_j^T)^{(0)}+\lambda)u_i-a_{ij}(v_j^T)^{(0)}] 令d(c)d(ui)=0\large \frac{d(c)}{d(u_i)} =0，可得： ∑j=1n[(v(0)j(vTj)(0)+λ)ui]=∑j=1naij(vTj)(0)\large\sum\limits_{j=1}^n[( v_j^{(0)}(v_j^T)^{(0)}+\lambda)u_i]=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(v_j^T)^{(0)} =>((V(0)(VT)(0)+λE)ui=aTiV(0)\large =>( (V^{(0)}(V^T)^{(0)} + \lambda E)u_i = a_i^TV^{(0)} 令 M1=V(0)(VT)(0)+λE,M2=aTiV(0)M_1 = V^{(0)}(V^T)^{(0)} + \lambda E , M_2 =a_i^TV^{(0)}，则ui=M−11M2u_i = M_1^{-1}M_2 按照上式依次计算u1，u2，...，unu_1，u_2，...，u_n，从而得到U(1)U^{(1)}
• 循环执行步骤2、3，直到损失函数C的值收敛（或者设置一个迭代次数N，迭代执行步骤2、3，N次后停止）。这样，就得到了C最优解对应的矩阵U、V。

线性自动编码器和矩阵分解对比：

随机梯度下降

我们尝试使用随机梯度下降的方法来最小化损失函数：

于是我们的优化模型就可以表示成：

当训练集的数据时间上要早于测试集，这么一来，时间上越晚的数据应该权重越高。于是我们可以使用随机梯度下降变形——基于时间的梯度下降——在训练后期只选择时间靠后的数据。