(7.4)James Stewart Calculus 5th Edition:Integration of Rational Functions by Partial Fractions


Integration of Rational Functions by Partial Fractions 分式的有理数积分

之前,看见分式 就会想到,需要先合并

现在求积分,其实是一个逆向的过程 最好分解


对应的degree情况

多项式degree的概念

这个时候,最高项的次数为n,这个多项式的次数就为n

我们再来看看分式:

可以化简为:

这里


例子

我们可以先通过除法,把分式拆分

最后,单独求积分


另一种情况

当Q(x)有很多线性因子的时候

我们可以化简成,类似这样的式子


例子

一些例子

例子2

我们根据分母,可以化简为:

对应的分式,我们可以用 待定系数法(很原始,但是还是很好用)

这样可以知道

化简得:

解对应的线性方程

可以求得:

最后,化简得:

注意中间这项

系数是2,求对应的微分也是2x,所以,这里为 1/10


例子3

和前面一样,待定系数法

化简

可得:

所以有:

可以化简为:


Q(x)的再一种情况

例子

先化简

再分解分母Q(x)

使用待定系数法

化简

解线性方程

求得 A=1, B=2, C=-1


有一种情况

如果分母不可分,例如二次的分母,ax2+bx+c=0,有b2 - 4ac < 0 则

如果这里面,b为0,则可以化简为: (b不为0的时候,可以化简为 (x+p)^2 +d 的形式)


例子

一些例子


例子5

先分解分母

再待定系数法

得到对应的线性方程

带入得

最后化简


例子6

先化简

这个时候,根据 b^2 - 4ac <0,可以判断分母不可分了

则,需要配成平方数

按对应的思路,做


又一种情况

如果下面的情况,也满足 b^2 - 4ac <0

则还是化为对应的平方数 最后化成对应形式的和


例子

一些例子


例子7

先化简

可求得:

剩下的略


例子8

化简

用 待定系数法

得到线性方程

可以求得: A=1, B=-1, C=-1, D=1, E=0 代入并且化简,得


Rationalizing Substitutions 有理化替换

有的时候,对应形式的

可以用u去替换


例子

化简,可得:

我们由,上面的定理6

可以知道,这里 定理6中的a为2 则,式子为

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