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牛客网 最大的奇约数

题目:最大的奇约数

小易是一个数论爱好者,并且对于一个数的奇数约数十分感兴趣。一天小易遇到这样一个问题: 定义函数f(x)为x最大的奇数约数,x为正整数。 例如:f(44) = 11. 现在给出一个N,需要求出 f(1) + f(2) + f(3).......f(N) 例如: N = 7  f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 3 + 7 = 21 小易计算这个问题遇到了困难,需要你来设计一个算法帮助他。

输入描述:

输入一个整数N (1 ≤ N ≤ 1000000000)

输出描述:

输出一个整数,即为f(1) + f(2) + f(3).......f(N)

示例1

输入

7

输出

21

题目思路:

最开始时,想到了之前做过的跳石板题目,想按照这个思路求解,结果解出来复杂度太高。

然后,看到了评论中的,奇数最大即为自己,偶数一直除2到变成奇数为止,然后思路变成了将所有数字放在数组中,for循环遍历每个数,奇数不变,偶数则一直除2到变成奇数为止,结果空间复杂度太高。

然后,参考评论中的解法,for循环,第一次求到n的所有奇数的和,然后n=n//2,然后继续求和,代码如下,但是仍然超出了空间限制

n = int(input())
def gettotal(n):
    total = 0
    while n:
        a=[i for i in range(1,n+1,2)]
        total=total+sum(a)
        n=n//2
    return total
print(gettotal(n))

最后,解法为:

n = int(input())
def gettotal(n):
    total = 0
    while n:
        total += ((n+1)//2)**2
        n //=2
    return total
print(gettotal(n))

理解为:当n是奇数时,求每轮奇数和时,为1+3+...+n=[(n+1)/2]*[(n+1)/2],第一个(n+1)/2可以理解为求出了首尾相加然后除以2,第二个(n+1)/2可以理解为其中奇数个数,当n是偶数时,其中元素个数为n/2==(n+1)//2,而首尾相加除以2仍然是(n+1)/2,所以,最终每一轮所加上的为((n+1)//2)**2

参考:最大奇约数

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