数据结构和算法——动态规划

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一、动态规划的思想

    动态规划(dynamic programming)是一种算法设计的思想,主要是将一个问题划分成几个更小的问题,并对这样更小的问题进行求解,最终得到整个问题的解。有人在想这样的方式和分治法的求解很像。

  • 动态规划:各个子问题不是独立的,他们包含了公共子问题
  • 分治法:一个大问题是被划分成一些独立的子问题,通过递归地求解子问题最终得到整个问题的解

在动态规划法中,与其对交叠的子问题一次一次求解,不如对每个较小的子问题只求解一次并把结果记录在表中,这样就能从表中得到原始问题的解。举个简单的例子,对于菲波那切数列来说:

对于这样的递推式,可以把一个复杂的问题分解成几个非独立的子问题,我们可以采用的方式是记录每一组值,如斐波那契数列的值依次是0,1,1,2,3,5,...。而不需要重复去计算。

二、用动态规划求解二项式系数

二项式系数问题是一个求解

的问题。我们有如下的递推式:

要计算

的值,我们需要记录

之间的值。动态规划的核心思想就是要找到这样的递推式,然后构建这样的存储空间去记录中间的值,避免重复计算。最简单的方式是利用数组去记录。

如上的问题可以用下面的Java代码实现:

package org.algorithm.dynamicprogramming;

/**
 * 利用动态规划的思想去求解二项式系数的问题
 * 
 * @author dell
 * 
 */

public class CalculateDemo {
	/**
	 * 用动态规划计算C(n,k)
	 * 
	 * @param n为二项式的参数
	 * @param k为二项式的参数
	 * @return C(n,k)的值
	 */
	public static int calBinomial(int n, int k) {
		int C[][] = new int[n+1][k+1];
		for (int i = 0; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j <= minValue(i, k); j++) {
				if (j == 0 || j == i) {
					C[i][j] = 1;
				} else {
					C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
				}
			}
		}
		return C[n][k];
	}

	// 返回较小的值
	public static int minValue(int i, int k) {
		return (i <= k ? i : k);
	}

	public static void main(String args[]) {
		int n = 10;
		int k = 5;
		System.out.println(calBinomial(n, k));
	}

}

参考文献

  1. 动态规划算法

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