线性代数--MIT18.06(十一)

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1. 线性代数--MIT18.06（一）：方程组的几何解释
2. 线性代数--MIT18.06（二）：矩阵消元（初等变换）
3. 线性代数--MIT18.06（三）：矩阵乘法和求解逆矩阵
4. 线性代数--MIT18.06（四）：A的LU分解
5. 线性代数--MIT18.06（五）：转置、置换和向量空间、子空间
6. 线性代数--MIT18.06（六）：列空间和零空间
7. 线性代数--MIT18.06（七）：求解Ax=0
8. 线性代数--MIT18.06（八）：求解Ax=b
9. 线性代数--MIT18.06（九）：线性相关性、基、维数
10. 线性代数--MIT18.06（十）：4个基本子空间

11. 矩阵空间和秩1矩阵

11.1 课程内容：矩阵空间和秩1矩阵概念

■ 矩阵空间

所有

维矩阵构成的线性空间称为矩阵空间，记为

。 若记 M 为所有 3×3 矩阵构成的矩阵空间，则所有的 3×3 对称矩阵构成的矩阵空间 S 和 3×3 上三角矩阵构成的矩阵空间 U 都是 M 的子空间。

在向量空间和子空间那一讲我们已经证明了，子空间和子空间的交集依然是子空间，而他们的并集不是。 而两个子空间中向量的线性组合呢（实际上就相当于是2个子空间的线性组合了）？实际上就构成了整个空间。

以这里的 M 为例，既然 M 为所有 3×3 矩阵构成，那么他所在的维度也就是 3×3 = 9 ，考虑 S 和 U 则很容易知道他们的维度为 6 ，他们两者的交集为所有 3×3 对角矩阵构成的矩阵空间 D ，D 的维度为 3 。

从这个例子，我们很容易发现

这就是维数公式。

那么 M 的基呢？ 这里我们引入秩1矩阵。

■ 秩1矩阵

• 任何一个秩 1 矩阵都可以写成

的形式，其中rankA = 1,

均为列向量。

• 秩 1 矩阵的集合不是线性空间，因为对加法不封闭（两个秩 1 矩阵的和的秩可能为 2）。
• 任何一个秩为 r 的矩阵都能写成 r个 秩1矩阵 的和。

首先为什么说秩 1 矩阵可以写成

的形式，回到第三讲的矩阵乘法，我们介绍过这种列乘以行的形式。

由 n 维空间推广到现在的

维空间，那么原来 n 维向量空间的基是由一组向量构成，那么在现在的

维空间，基自然是由一组矩阵构成，这些矩阵就是秩 1 的矩阵。

由此我们可以回答我们的上一个问题， M 的基，就可以知道是

11.2 习题课

2011年求解矩阵空间的基以及判断矩阵集合是否构成子空间

（http://open.163.com/movie/2016/4/4/H/MBKJ0DQ52_MBN2U324H.html）

问 ：2X3 阶矩阵构成的集合，零空间中包含

向量，求该零空间的基。 如果是由列空间中存在向量

的矩阵构成的集合，它是否是一个子空间，如果是，求它的基。

解答

对于零空间中存在

向量，我们很容易发现这些 2X3 阶矩阵构成的集合是对加法和乘法封闭的。因此该空间是一个子空间。另外因为存在零空间，并且 2x3 阶矩阵的秩最大为 2 ，故他们的秩只能为 1 ，所以该空间的基就是由秩 1 矩阵构成的。

现在我们回到零空间求解基的步骤，既然秩为 1 ，而 n = 3 ，那么对于单个 2x3 阶矩阵来说它的零空间是由 2 个基向量构成的基张成的。 求解该基，利用 Ax = 0 的方法即可，分别令自由变量为 1 ，即可得到两个基向量为

(这里放大了 2 倍，以便得到整数 ) 。 由此我们就可以得到秩1矩阵组成的基了，即

而对于列空间来说，我们简单检验零向量不在其中，就可以知道该空间不是子空间。

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