线性代数--MIT18.06(二十五)

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25. 第二部分复习课

25.1 第二部分复习

1. 求向量

的投影矩阵

？

根据公式

（第十五讲的内容），直接代入即可得到

求

的特征值和特征向量

因为

为奇异矩阵，因此其中一个特征值必为 0 ，并且由于

是秩 1 矩阵，因此秩为 1 ，也就说明在零空间是二维平面，即有两个特征值为 0 ，根据迹即为特征值相加之和，即可得到另一个特征值为 1 。其特征向量就是

(秩 1 矩阵构成的

,因此该向量已经在列空间之中)。

如何求

,

可知

也就是说

已经在列空间之中，因此

1. 使用最小二乘拟合直线，

。

设

,根据第十五讲得到的公式，即

1. 已知

，如何让

与其正交?

应用正交化方法，将

去除其在

上的投影部分，即为正交的部分，即

1. 4 阶矩阵,有

什么情况下矩阵可逆？

特征值全不为 0 ，则矩阵可逆。

求该矩阵的逆的行列式的值

根据行列式的性质可以知道逆矩阵的行列式的值就是原矩阵特征值的乘积的倒数，即

求解

的迹

矩阵的迹即为对角线元素之和，也为特征值之和，因此

1. 已知

，求

的特征值

可以发现

是奇异矩阵，因为第三行和第一行相关。

由此根据投影矩阵的计算公式来计算

求将

投影到列空间的投影矩阵

因为

是可逆矩阵，即其列空间就是整个空间，因此投影矩阵不对

做变化，即投影矩阵为单位阵

25.2 习题课

2011年利用求和公式计算行列式

（http://open.163.com/movie/2016/4/3/U/MBKJ0DQ52_MBPT3II3U.html）

对于矩阵

问

• 找到行列式公式

中的非 0 项，并求解行列式的值。

• 求余子式

• 求解

的第一列

解答

• 因为在行列式公式中列标的序号是不同的，并且矩阵第三行和第四行存在为 0 的项，因此列标序号的排列只能是

与

的排列的合成，也就是

项, 分别为

对于矩阵的逆，根据下列公式可以知道，求解逆的第一列，正好可以利用好第二问得到的余子式

即可以得到