线性代数--MIT18.06(三十一)

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31. 线性变换和对应矩阵

31.1 课程内容：线性变换和对应矩阵

■ 线性变换的定义

线性变换

的定义（判定法则）：对于任意的向量

满足如下的两个条件

而基于线性组合的思想，我们也可以将两个法则合并表示为一个

举几个线性变换的例子

1. 将向量投影到直线上，这是线性变换，因为随着向量的变化，同样的变化总是体现在投影向量上
2. 旋转，是线性变换。

几个不是线性变换的例子

1. 平面平移不是线性变换
2. 对向量求模不是线性变换，对向量做反方向的变换，但是模无法体现反向，即

矩阵变换是线性变换，

，使用判定条件检验

■ 通过矩阵表示线性变换

既然矩阵变换也是线性变换，如何用矩阵来表征该变换呢？

考虑空间中的所有向量，都需要做线性变换，我们不可能对向量一个一个进行变换，然后得到变换后的空间。 此时就可以利用空间的基，我们对空间的一组基都得到它们变换后的结果，那么对于空间中的任意向量，因为我们都可以用基向量来将其表示出来，那么对任意向量的线性变换，都可以用基向量的线性变换的线性组合来表示，即对于空间的一组基

，以及任意向量

，我们可以得到基的线性转换结果为

,则对于任意向量的线性变换结果可以表示为

我们通常用的坐标系，实际上就可以理解为是空间的一组基，而得到的坐标，其实就是各个基的系数

。因此，如果我们使用空间的不同的基组，那么我们也就得到了不同的系数组合，即线性变换。对于不同空间之间的线性变换，也就是同样的道理了，只不过用了两个空间各自的一组基，即

转换前后的空间坐标对应于各自空间的坐标系（就是空间的一组基）

基于此，如果我们就使用特征向量作为空间的基，那么线性转换的矩阵

就是形式很好的对角阵

。

最后说明下通过矩阵表示线性变换的一般方法：

1、首先，确定输入空间和输出空间的基向量

输入空间基向量:

输出空间基向量:

找出

对于输出空间的映射:

其中

即为转换矩阵

的第一列

2、然后依次求出

的第二列到第

列，即得到转换矩阵

31.2 习题课

2011年线性变换习题课

（https://open.163.com/movie/2016/4/K/D/MBKJ0DQ52_MBQUMKUKD.html）

对于

阶的矩阵

,存在线性变换

, 问

1.该变换为何是线性变换，求解

2.分别在如下基向量下求解线性变换

3.求

的特征值和特征向量

解答

1.对于变换使用线性变换的两个判定条件即可，

因此该转换为线性转换

由于该线性转换为转置转换，而其逆操作相当于还是转置转换，因此

2.求线性转换，根据求解步骤对各基向量先进行转换操作即可

而对于

基向量组可以得到

3.由

基向量可知特征值就是

，特征向量就是

基向量