PRML读书笔记(2) - 深度理解机器学习之决策论(Decision Theory)

「总结自经典教材《Pattern Recognition and Machine Learning》以及김동국教授的人工神经网络纯理论课程。在此感谢作者及教授的辛苦教学。本篇内容很多东西没有很明确地说明，仅限于本人记录复习使用」

前一篇文章从概率论的角度总结了一些与机器学习相关的核心知识。这篇文章将从决策论的角度，来总结一些关联知识。当其与概率论相结合时，能够帮助我们在涉及不确定性的情况下做出最优决策。

概述

假设我们有一个输入向量 x，已经一个目标变量 t。我们的目标就是当给定一个新变量 x 的时候，可以预测出 t。在分类问题中，t 是一个离散值，代表一个类别标签；在回归问题中，t 是一个连续值。联合概率分布 p(x, t) 提供了与这些变量相关的不确定性的完整总和。从一组训练数据中确定 p(x, t) 是一个推断 (inference) 问题的例子，这通常是一个非常难的问题，其解决方案构成了 PRML 整本书的主题。

举一个简单的癌症检测的例子。我们将根据病人的一张 X-ray 图片，来判断该病人是否患癌症。在这个例子中，输入向量 x 就是一张图片的线性值表示，输出变量 t 就是表示是否患癌症。t 将被表示成 C1 和 C2 这两个值。C1 表示患癌症，C2 表示不患癌症。在实际应用中，t 将被表示成二进制，即 0 表示 C1，1 表示 C2。一般的推断问题涉及到确定联合分布 p(x, Ck) 或等价的 p(x, t)，这给了我们对这种情况最完整的概率描述。虽然这可能是一个非常有用和信息丰富的量，但最后我们必须决定其中之一，即给病人治疗与否，我们希望这个选择在某种适当的意义上是最优的。一旦我们解决了推理问题，我们将看到决策阶段通常是非常简单的。

首先，可以考虑一下，概率在决策中是如何发挥作用。当我们得到一个病人的 X-ray 图片的时候，我们的目标是将其分类为其中一个类别。这时候会对两个类别的概率感兴趣，即对 p(x, Ck) 感兴趣。使用贝叶斯定理，概率将会被表达成：p(Ck|x) = p(x|Ck)p(Ck) / p(x) 。需要注意的是，贝叶斯定理中出现的任何一个量都可以从联合分布 p(x, Ck) 中得到，方法是对相应的变量进行边缘化或条件作用。将 p(Ck) 解释成类别 Ck 的先验概率，p(Ck|x) 则是对应的后验概率。因此， p(C1) 表示在我们进行 x 射线测量之前，即一个人患癌症的概率。同样，p(C1|x) 是对应的后验概率，是根据 X-ray 中包含的信息，用贝叶斯定理修正后得到的概率。如果我们的目标是最小化分配 x 到错误类别的机会，那么根据直觉我们会选择具有较高后验概率的类别。上面的过程证明了这种直觉是正确的，在后面还将讨论决策的更一般的标准。

最小化误分类率

假设我们的目标是尽可能的减小误分类。我们需要一个规则把每个 x 值指向可能的类别中去。这个规则会讲驶入空间划分为 Rk 个决策领域(decision regions)，每个领域表示为一个类别。每个类别之间的边界，称为决策边界(decision boundary)。 为了找到最优的决策规则，首先考虑二元分类的问题，例如上面的癌症检测的问题。错误分类的情况是：原本是 C1 的类别却指向了 C2，反之亦然。这样的话，错误分类的概率如下所示：

为了最小化这个概率，我们应该应该讲每个 x 值分配给上式中具有最小积分值的类别。因此，当 p(x, C1) > p(x, C2) 的时候，给定的 x 的值，将被指定为 C1 类别。概率的乘法公式为： p(x,Ck) = p(Ck|x)p(x) ，因为 p(x) 是相同的因子，所以可以重述一下结论：最小化错分类概率就是将每个 x 值指向后验概率 p(Ck|x) 最大的类。

推广至 k 类别的话，使用正确分类的概率将更容易，概率公式如下所示：

这个时候需要最大化这个正确概率，和上面一样，也可以得出这个结论：将 x 指向后验概率 p(Ck|x) 最大的类。

最小化期望损失

对于许多应用来说，我们的目标将比简单地最小化错误分类的数量更复杂。现在再次思考一下癌症检测这个问题。可以注意到，如果没有患癌症的患者被错误地诊断为患有癌症，则后果可能是增加某些患者的痛苦以及需要进一步调查。相反，如果患有癌症的患者被诊断为健康，则后果可能是由于缺乏治疗而过早死亡。可以看出，这两类错误的后果会大不相同。很显然，减少第二种错误显然会更​好。这时候，可以通过引入损失函数(loss function)，也称为成本函数(cost function)来正式化这些问题，这是对采取任何决策或行动所引起的损失的单一，总体的衡量标准。所以，我们的目标是尽量减少总损失。 假设我们有一些 x 值，其真正的类别是 Ck，但是我们将其指向了 Cj，这样就会导致一些损失，损失表示为 Lkj，可以看做是损失矩阵 L 的第 k，j 个元素。如下图所示，是一个损失矩阵。这个特殊的损失矩阵表明，如果做出正确的决定，就不会发生损失；如果健康的患者被诊断为患有癌症则会损失 1；而如果患有癌症的患者被诊断为患有癌症则会损失 1000。

最佳解决方案是最小化损失函数。但是，损失函数取决于真实的类，这个对于我们来说是未知的。对于给定的输入向量 x，我们在真实类别中的不确定性通过联合概率分布 p(x,Ck) 来表示，因此我们寻求最小化平均损失，其中平均值是相对于该分布计算的，如下所示：

每个 x 可以独立地分配给决策区域 Rj 之一。我们的目标是选择区域 Rj ，以最大限度地减少预期损失。这意味着对于每个 x，我们应该最小化 ΣkLkj p(x,Ck)。又因为 p(x,Ck) = p(Ck|x)p(x) ，其中 p(x) 是相同的因子。所以，使预期损失最小化的决策规则是将每个新的 x 赋给 j 类，而 j 类的计算结果是最小的。

推断和决策

可以将分类问题分为两个阶段，一个是推断阶段，一个是决策阶段。在推断阶段，我们使用训练数据来学习关于 p(ck|x) 的模型。在决策阶段，我们使用后验概率来做出最优的类指向。还有一种绝对的方法可以同时解决这两个阶段的问题，即简单的学习一个方程，这个方程直接将 x 映射到对应的决策上去。这样的方程称之为 判别方程（discriminant function）

实际上，总结来说，有 3 种方法可以解决决策问题：

• Generative Approach：Using Bayes Rule
• Discriminative Approach：model p(ck|x) direcly！
• Discriminant function：Find a function, called discriminant function, which maps each input x directly onto a class label.

回归问题的决策

前面讨论为内容都是关于分类问题的，现在讨论回归问题。在回归问题的决策阶段，需要选择 y(x)，即对于输入的各个 x 值，其关于目标值 t 的评估值。假设正在寻求 y(x)，损失为 L(t,y(x))。所以，平均或者期望损失为：

E[L] =\int \int L(t,y(\mathbf{x}))p(\mathbf{x},t)d\mathbf{x}dt

在回归问题中，经常使用如下平方差损失函数

L(t,y(\mathbf{x})) =\left \{ y(\mathbf{x})-t \right \}^2

所以有：

E[L] =\int \int \left \{ y(\mathbf{x})-t \right \}^2 p(\mathbf{x},t)d\mathbf{x}dt

现在，我们的目标是选择 y(x) 使得 E[L] 最小。如果假设该 y(x) 是完全柔和的，我们可以通过如下方式来求解：

\frac{\partial E[L] }{\partial y(\mathbf{x})} = 2\int \left \{ y(\mathbf{x})-t\right \} p(\mathbf{x},t)dt = 0

然后，依据概率的乘法和加法法则，可以得到：

y(\mathbf{x}) = \int \frac{tp(\mathbf{x},t)dt}{p(\mathbf{x})}=\int tp(t|\mathbf{x})dt = E_t[t|\mathbf{x}]

所以，从求解结果上，可以得知如果想要使回归问题的损失最小，那么要使 y(x) 为 Et[t|x]，即回归问题的最优解为 y(x) = Et[t|x]。