[图解] 堆排序

1. 图示过程

大根堆的性质:

  1. 堆顶的数一定是所有元素的最大值
  2. 任何一颗子树的根元素一定是该子树的最大元素
  3. 某节点的左右叶子节点是无序的

大根堆与数组的关系:计算机中是没有堆或者树这种概念的,堆或者树需要使用基本的数据结构来实现,用数组表示一个大根堆的规律如下:

  1. 数组索引为 0 的位置存放堆顶的元素
  2. 数组索引为 i 的元素的左右叶子节点的索引是 2 * i + 1 和 2 * i + 2
  3. 数组索引为 i 的元素的父节点的下标索引为 (i - 1) / 2

(1) 堆排序整体流程

  1. 首先把数组中的 N 个数建成一个大小为 N 的大根堆
  1. 然后把堆顶的数和堆的最后一个数交换:
  1. 此时数组的最后一个值就是最大值
  1. 然后把推中的最后一个元素剔除,把剩余的元素再次调整为一个大根堆
  1. 然后把堆顶元素与最后一个元素交换位置
  1. 此时数组的倒数第二个元素就是数组中第二大的元素。
  1. 重复以上过程,当堆的大小为 1 的时候,数组就有序了。

(2) 堆化过程

将一个数组转化为一个大根堆的过程称为堆化,堆化的过程如下:

  1. 原数组对应的数结构为:
  1. 从第一个元素开始遍历,只要它的值比父节点大,就把它和父节点相互交换。

2. 动图展示

3. Java代码实现

public static void heapSort(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length < 2) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        heapInsert(arr, i);
    }
    int size = arr.length;
    swap(arr, 0, --size);
    while (size > 0) {
        heapify(arr, 0, size);
        swap(arr, 0, --size);
    }
}

public static void heapInsert(int[] arr, int index) {
    while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]) {
        swap(arr, index, (index - 1) / 2);
        index = (index - 1) / 2;
    }
}

/**
 * 堆化
 */
public static void heapify(int[] arr, int index, int size) {
    int left = index * 2 + 1;
    while (left < size) {
        int largest = left + 1 < size && arr[left + 1] > arr[left] ? left + 1 : left;
        largest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index;
        if (largest == index) {
            break;
        }
        swap(arr, largest, index);
        index = largest;
        left = index * 2 + 1;
    }
}

public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int tmp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = tmp;
}

4. 复杂度

  • 时间复杂度:O(nlogn)
  • 空间复杂度:O(1), 只需要一个额外的空间用于交换元素
  • 稳定性:堆排序无法保证相等的元素的相对位置不变,因此它是不稳定的排序算法

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