线性代数--MIT18.06(二十四)

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1. 线性代数 -- MIT18.06（十三）：第一部分复习
2. 线性代数--MIT18.06（十四）：正交向量和正交空间
3. 线性代数--MIT18.06（十五）：子空间投影
4. 线性代数--MIT18.06（十六）：投影矩阵和最小二乘
5. 线性代数--MIT18.06（十七）：正交矩阵和施密特正交化
6. 线性代数--MIT18.06（十八）：行列式及其性质
7. 线性代数--MIT18.06（十九）：行列式公式和代数余子式
8. 线性代数--MIT18.06（二十）：克拉默法则、逆矩阵、行列式的几何意义
9. 线性代数--MIT18.06（二十一）：特征值和特征向量
10. 线性代数--MIT18.06（二十二）：对角化和幂
11. 线性代数--MIT18.06（二十三）：微分方程

24. 特征值的应用

24.1 课程内容：马尔可夫矩阵和傅里叶级数

24.1.1 马尔科夫矩阵

马尔科夫矩阵（Markov Matrices）的定义：

• 矩阵中的所有元素大于 0 且 小于等于 1
• 各列的元素相加之和为 1 （也有一些教材用行之和为 1 ）

可以发现，马尔科夫矩阵的幂次依然是马尔科夫矩阵

马尔科夫矩阵的稳态问题就是有关特征值为 1 的对应特征向量，并且其他的特征值的绝对值都是小于 1 （可有其他特征值也为 1 的例外）。为什么呢？

由前几讲的内容我们已经知道了如下等式

当

, 因为其他特征值绝对值小于 1

如何证明马尔科夫矩阵必然有一个特征值为 1 ？ 由于列值相加为零，我们可以得到行向量线性相关，即

因此矩阵

奇异,所以

是一个解。

同时也引出一个性质，

与

有相同的特征值

这里需要说明下马尔科夫性，马尔科夫过程和马尔科夫链。 在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来），不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程为马尔科夫过程。对于离散时间的随机过程则称为马尔科夫链。

有了这些基础知识，就可以将马尔科夫矩阵应用起来了。

举个例子，将其应用于人口迁移之上。

当然我们不考虑人口总数的变化，也就是说假设人口总数不变。

只考虑两个州的人口之间的互相迁移，M 州人口 0.9 的概率留在本州，0.1 的概率迁移到 T 州，而 T 州有 0.8 的概率留在本州，0.2 概率迁移到 M 州。

由此我们得到马尔科夫转移矩阵

假设初始情况下两州人口分别为 0 和 1000, 则初始值为

根据

，我们就可以知道

步之后的人口分布。

计算特征值和特征向量，特征值为 1 和 0.7 ，对应的特征向量为

,

, 代入初始值

可知

,即得到

最终的稳态就是只与

所对应的

相关了。

24.1.2 傅里叶级数

在讲傅里叶级数之前可以回顾下第十七讲所讲解的投影的内容，傅里叶级数正是对投影矩阵的巧妙应用。

对于一组标准正交基，我们知道它们的线性组合可以张成任意一个在此空间中的向量

我们已经知道第

个分量就是第

个标准正交向量与

的点积，即

现在可以将这些概念由向量引申到函数，也即是傅里叶级数了。

向量就对应于函数，正交向量就对应于正交函数，我们已经知道对于向量的正交，我们用两者之间的点积为 0 来定义，那么函数之间的正交如何定义？也是使用类似的方法，只不过对于连续的函数，我们使用积分来表征两者之间的内积。比如，对于两个函数

和

，他们的内积表示为

那么和正交矩阵类似的，我们想要求傅里叶级数的第

项的系数的时候，也自然是用第

项的函数与傅里叶级数做内积了，以第 1 项为例(根据第一行的等式展开)，也就是

24.2 习题课

2011年将随机游走问题用马尔科夫矩阵表示习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/4/5/MBKJ0DQ52_MBPT38M45.html）

对于一个随机运动的粒子，在某一时刻它停留在 A 处的概率是 0.6 ，从 A 运动到 B 的概率为 0.4 ，从 B 运动到 A 的概率为 0.2 ，停留在 B 的概率为 0.8 ，问从 A 开始，粒子运动 1 步，n 步 ，

步后在 A ，B 处的概率分别为多少？

解答

首先根据运动概率，写出马尔科夫矩阵

又由于粒子是从 A 处开始运动，因此可以知道初始条件为

由此就可以得到运动 1 步之后在各处的概率

即 1 步之后粒子在 A 处的概率为 0.6 ，在 B 处的概率为 0.4 。

对于 n 步之后，我们也很容易知道其计算方法

，对于矩阵的幂，在之前的章节已经讲解过，可以对矩阵进行对角化，因此，我们计算其特征向量和特征值。 因为是马尔科夫矩阵，因此其中一个特征值为 1 ，又根据矩阵的迹为 1.4 可知另一个特征值为 0.4 。分别计算特征向量

由此我们得到特征向量矩阵以及其逆和特征值矩阵分别为

由此可以代入对角化公式得到

则，当