自动绘图: 用自动化平面(几何)绘图求解美国数学月刊中的问题

本文探讨的新功能即将在Wolfram语言第12版中发布。版本12发布时,将提供可复制的输入表达式和可下载的笔记本。

Wolfram语言第12版引入了GeometricSceneRandomInstanceFindGeometricConjectures函数,用于表征、绘制和推导平面几何问题。特别地,抽象场景描述可以自动提供坐标值以产生满足场景条件的图。让我们将这个功能在《美国数学月刊》2019年2月刊和3月刊的几篇有关几何的文章和问题中尝试一下。

牛顿方程的几何求解

首先我们来看一下出现在2019年2月刊Mowaffaq Hajja和JonathanSondow发表的文章:“Newton Quadrilaterals,AssociatedCubic Equations,andtheir Rational Solutions”(牛顿四边形、相关三次方程及其有理解)。

牛顿在他的1720代数教科书《Universal Arithmetick》中提出了以下问题:给出一个边长为a,b,c,d的四边形,并且四边形各顶点位于直径为d的圆上,用a,b,c表示d。他的解就是牛顿方程:

我们来求解牛顿方程,a,b,c为下列随机值:

我们可以直接使用Solve求解d:

我们还可以使用RandomInstanceGeometricScene使用原始几何结构求解 d。首先我们绘制示意图,只使用 a, b和 c的值(符号 d出现,但最初没有赋值;GeometricScene的第一个参数包含符号点列表,符号量列表可选,如果需要,可以各自通过规则赋值给定固定值):

现在我们提取 d的值,并看到它等于我们直接求得的解:

现在的作者证明了牛顿原始陈述的逆命题:给定满足牛顿方程的正数a,b,c,d,一定存在一个边长为a,b,c,d的四边形内接于直径为 d的圆上。

我们找到了这样的a,b,c,d值。

的确,我们可以画出图形:

描述几何问题并推测其结论

下面我们来看一下2019年2月刊 Problems and Solutions 专栏中的问题12092及解决方案,提出者为MichaelDiao和AndrewWu。

p是

的平面上一点,满足

。令q和r分别在

外接圆上, 且分别是过p的直径的另一端点。令x为直线

的交点。证明

垂直于

绘出示意图:

使用FindGeometricConjectures查找有关此特定情景的事实,包括我们问题的结论:

寻找支持几何不等式的证据

最后,我们来看一下2019年2月刊 Problems and Solutions 专栏中的问题12098,由LeonardGiugiuc和KadirAltintas提出。

假设三角形的半周长为s,内切圆半径为r,其形心位于内切圆周上。证明

,并确定等号成立的条件。

生成三个单独的实例:

验证每个实例中的不等式是否成立:

验证不等式一般适用于边长

的三角形,使用半周长公式

,内切圆公式

,和从内切圆心到形心的距离公式

:

由于

在取遍所有边长 a, b 和 c 并且满足给定约束条件下的最小值为

(边长为1,

时成立),因此不等式

通常成立。

找到等式成立的三个实例:

这些三角形看起来都非常相似。为了确认我们的猜测,我们将每个三角形的边长定为

,然后计算

:

实际上,所有三角形似乎都是2-5-5等腰三角形。为了证明这个结论的一般性,我们找到满足所述属性、使得三角形

的坐标为

,

的的所有可能的x和y值:

作出这些三角形的图形:

验证满足等式关系的三角形都是2-5-5等腰三角形,证明论点的一般性:

到此,我们已经证明了不等式在一般情况下成立,等号对于某一类相似三角形成立。


原文发布于微信公众号 - WOLFRAM(WolframChina)

原文发表时间:2019-04-09

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