MADlib——基于SQL的数据挖掘解决方案（17）——回归之Cox比例风险回归

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发布于 2019-05-25 19:36:20

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一、Cox比例风险回归简介

    Cox比例风险回归模型（Cox’s proportional hazards regression model），简称Cox回归模型，由英国统计学家D.R.Cox于1972年提出，主要用于肿瘤和其它慢性病的预后分析，也可用于队列研究的病因探索。

1. 基本概念

生存函数：又称累计生存率，简称生存率，常用S(t)表示。代表被观察对象的生存时间大于t时刻的概率，实际中t时刻的取值估算公式为：S(t) ≈ 生存时间长于t的患者数 / 患者总数
死亡概率函数：简称为死亡概率，常用F(t)表示。代表一个被观察对象从开始观察到时间t为止的死亡概率，它与生存函数的关系为：F(t) = 1 - S(t)。
死亡密度函数：简称为密度函数，用f(t)表示。代表所有被观察对象在t时刻的瞬时死亡率。
风险函数：即生存时间已达到t的一群被观察对象在t时刻的瞬时死亡率，用h(t)表示。代表已存活到时间t的每个观察对象从t到t+∆t这一非常小的区间内死亡的概率极限，它与生存函数、死亡密度函数的关系为：h(t) = f(t) / S(t)。

2. Cox回归模型结构

    Cox回归模型不直接考察生存函数与协变量（影响因素）的关系，而是用风险函数作为因变量。设有n名病人（i=1,2,...,n），第i名病人的生存时间为

                         ，同时该病人具有一组协变量

，则模型为：

：在时间t处的风险函数。

：基准风险函数，为所有协变量取零时t时刻的风险函数，即没有协变量下的风险函数。这是模型中的非参数部分，因此Cox回归是一种半参数分析方法。

：协变量。

：根据观察值估算出的回归系数。

：预后指数。大于0时表示该病人对应的危险度大于平均水平；等于0时为达到平均水平；小于0时表示该病人的危险度小于平均水平。

回归系数

时，协变量的取值越大，风险函数

的值越大，表示病人死亡的风险越大。

回归系数

时，表示协变量对风险函数

没有影响。

回归系数

时，协变量的取值越大，风险函数

的值越小，表示病人死亡的风险越小。

3. Cox回归模型的前提条件

    Cox回归模型必须满足比例风险假设（Proportional Hazards Assumption，PHA）：

（1）任何两个个体的风险函数之比，即风险比（HazardRatio，HR）保持一个恒定的比例，而与时间t无关。

（2）模型中协变量的效应不随时间改变而改变。

    检查某协变量是否满足PHA，最简单的方法是观察该变量分组的生存曲线。若生存曲线交叉，表示不满足PHA，此时可采用分层比例风险模型。

4. 参数估算与假设检验

    Cox回归的参数估计同逻辑回归分析一样采用最大似然估计法。其基本思想是先建立偏似然函数或对数偏似然函数，求偏似然函数或对数偏似然函数达到极大时参数的取值，即为参数的最大似然估计值。

     假设检验的方法有时协变量法、线性相关检验法、加权残差Score法等。这三种检验法有较高的准确率，且三种方法的检验效能相近。MADlib的Cox模型PHA检验函数使用线性相关检验法实现。

5. Cox模型的注意事项

研究的协变量在被研究对象中的分布要适中，否则会给回归参数的估计带来困难。
Cox模型应用较灵活，被观察对象进入研究队列的早晚、时间长短可以不一致，但如果研究的变量随时间而变化，可以采用时依协变量模型进行分析。
样本含量不宜过小，一般应在40例以上，经验上的做法是样本含量为协变量个数的5-20倍。
尽管可以分析删失数据，但在观察时，要尽量避免观察对象的失访，过多失访容易造成结果的偏倚。
Cox模型对异常值较为敏感，所以在进行模型拟合时要注意拟合优度的检验。

二、MADlib中Cox比例风险回归相关函数

1. 训练函数

（1）语法

coxph_train( source_table,  
             output_table,  
             dependent_variable,  
             independent_variable,  
             right_censoring_status,  
             strata,  
             optimizer_params  
           )

（2）参数

参数名称	数据类型	描述
source_table	VARCHAR	包含训练数据的源表名。
output_table	VARCHAR	保存模型的输出表名，主输出表列和概要输出表列分别如表2、表3所示。
dependent_variable	VARCHAR	因变量名称，指死亡时间，不需要对数据进行预排序。
independent_variable	VARCHAR	自变量名称数组。
right_censoring_status（可选）	VARCHAR	缺省值为TRUE。表示右删失状态的字符串，如果无删失则为TRUE，否则为FALSE。该参数可以包含是右删失状态的列名，或者是一个可以对每个观察值进行评估的布尔表达式，如‘column_name < 10’。
strata（可选）	VARCHAR	缺省值为NULL，不做任何分层，可以是逗号分隔的列名。
optimizer_params（可选）	VARCHAR	缺省值为NULL，此时使用缺省的优化参数：max_iter=100, optimizer=newton, tolerance=1e-8, array_agg_size=10000000, sample_size=1000000。应该是一个逗号分隔的‘key=value’字符串，参数含义如下： l max_iter：最大迭代数。如果迭代次数达到此数值则停止计算，这通常意味着无法收敛。 l optimizer：优化方法，当前仅支持‘newton’。 l tolerance：停止条件。当连续两次迭代的对数似然值之差小于此参数，计算已经收敛并停止。 l array_agg_size：为了加速计算，将原始数据表切分成多个数据片，每片数据聚合成一个大行。计算处理时，整个大行被导入内存以提高运算速度。此参数控制一个大行中包含多少数据，参数值越大速度越快，但由于PostgreSQL数据库的限制，一个大行的大小不能超过1G。 l sample_size：为了将数据切分成大致相等的片，先进行数据采样，然后利用采样数据找出断点。该参数值越大，产生的断点越精确。

表1 coxph_train函数参数说明

列名	数据类型	描述
Coef	FLOAT8[]	回归系数向量。
loglikelihood	FLOAT8	极大似然估计的对数似然值。
std_err	FLOAT8[]	回归系数标准差向量。
stats	FLOAT8[]	回归系数统计向量。
p_values	FLOAT8[]	回归系数p值向量。
hessian	FLOAT8[]	Hessian矩阵。
num_iterations	INTEGER	优化器执行的迭代次数。

表2 coxph_train函数主输出表列说明

    训练函数在产生输出表的同时，还会创建一个名为<output\_table>\_summary的概要表，具有以下列：

列名	数据类型	描述
method	VARCHAR	'coxph'，描述模型的字符串。
source_table	VARCHAR	源表名。
out_table	VARCHAR	模型表名。
dependent_varname	VARCHAR	因变量表达式。
independent_varname	VARCHAR	自变量表达式。
right_censoring_status	VARCHAR	右删失状态。
Strata	VARCHAR	分层列。
num_processed	INTEGER	处理行数。
num_missing_rows_skipped	INTEGER	跳过行数。

表3 coxph_train函数概要输出表列说明

2. 比例风险假设检验函数

    cox\_zph()函数检验Cox回归的比例风险假设，它通过计算coxph\_train()输出模型中残差与时间的相关性验证比例风险假设。

（1）语法

cox_zph(cox_model_table, output_table)

（2）参数

cox_model_table：TEXT类型，包含Cox模型的表名，应该是coxph_train()函数的输出表。
output_table：TEXT类型，保存测试结果的表名，主输出表列和残差输出表列分别如表4、表5所示。

列名	数据类型	描述
covariate	TEXT	协变量。
rho	FLOAT8[]	生存时间与Schoenfeld残差相关系数向量。
chi_square	FLOAT8[]	相关分析卡方检验统计量。
p_value	FLOAT8[]	卡方统计双尾p值。

表4 cox_zph函数输出表列说明

    检验函数还创建一个保存残差值的输出表，名为<output\_table>\_residual，具有以下列：

列名	数据类型	描述
<dep_column_name>	FLOAT8	原始源表中存在的时间值（因变量）。
residual	FLOAT8[]	原始协变量与coxph_train模型中的期望协变量之差。
scaled_residual	FLOAT8[]	由系数的方差来衡量的残差值。

表5 cox_zph函数残差输出表列说明

3. 预测函数

（1）语法

coxph_predict(model_table,  
              source_table,  
              id_col_name,  
              output_table,  
              pred_type,  
              reference)

（2）参数

参数名称	数据类型	描述
model_table	TEXT	包含cox模型的表名。
source_table	TEXT	包含预测数据的表名。
id_col_name	TEXT	id列名。
output_table	TEXT	存储预测结果的输出表名，输出表具有以下列： l id：TEXT类型，id列。 l predicted_result：FLOAT8类型，基于预测类型参数值的预测结果。
pred_type（可选）	TEXT	预测类型。缺省为‘linear_predictors’，可以是‘linear_predictors’、‘risk’或‘terms’。 l linear_predictors：计算自变量和系数的点积，也即预后指数。 l risk：预后指数预测结果的指数值。 l terms：每个协变量与它们相应的系数值的乘积，不求和。
reference（可选）	TEXT	用于中心预测。可以为‘strata’、‘overall’，缺省值为‘strata’。

表6 coxph_predict函数参数说明

    注：Cox回归模型的因变量是风险函数，因此与其它模型的预测函数不同，它不直接返回生存时间的预测值。

三、示例

1. 查看联机帮助

select madlib.coxph_train();  
-- 训练函数用法  
select madlib.coxph_train('usage');  
-- 示例  
select madlib.coxph_train('example');

2. 建立测试数据表并装载原始数据

drop table if exists sample_data;  
create table sample_data (  
    id integer not null,    -- 逻辑主键  
    grp double precision,   -- 分组（治疗方法）  
    wbc double precision,   -- 白细胞值  
    timedeath integer,      -- 生存天数  
    status boolean          -- 结局  
);  
copy sample_data from stdin with delimiter '|';  
  1 |   0 | 1.45 |        35 | t  
  2 |   0 | 1.47 |        34 | t  
  3 |   0 |  2.2 |        32 | t  
  4 |   0 | 1.78 |        25 | t  
  5 |   0 | 2.57 |        23 | t  
  6 |   0 | 2.32 |        22 | t  
  7 |   0 | 2.01 |        20 | t  
  8 |   0 | 2.05 |        19 | t  
  9 |   0 | 2.16 |        17 | t  
 10 |   0 |  3.6 |        16 | t  
 11 |   1 |  2.3 |        15 | t  
 12 |   0 | 2.88 |        13 | t  
 13 |   1 |  1.5 |        12 | t  
 14 |   0 |  2.6 |        11 | t  
 15 |   0 |  2.7 |        10 | t  
 16 |   0 |  2.8 |         9 | t  
 17 |   1 | 2.32 |         8 | t  
 18 |   0 | 4.43 |         7 | t  
 19 |   0 | 2.31 |         6 | t  
 20 |   1 | 3.49 |         5 | t  
 21 |   1 | 2.42 |         4 | t  
 22 |   1 | 4.01 |         3 | t  
 23 |   1 | 4.91 |         2 | t  
 24 |   1 |    5 |         1 | t  
\.

    说明：在这个假设的生存分析案例中，将24名患者分为两组（如模拟两种治疗方法）进行观察。协变量有两个，分组与白细胞值，样本量是协变量个数的12倍。因变量为生存天数。所有患者结局已知，不存在删失情况。

3. 训练模型

drop table if exists sample_cox, sample_cox_summary;  
select madlib.coxph_train( 'sample_data',  
                           'sample_cox',  
                           'timedeath',  
                           'array[grp,wbc]',  
                           'status'  
                         );

4. 查看回归结果

\x on  
select * from sample_cox;

    结果：

-[ RECORD 1 ]--+----------------------------------------------------------------------------
coef           | {2.54407073265254,1.67172094779487}
loglikelihood  | -37.8532498733
std_err        | {0.677180599294897,0.387195514577534}
z_stats        | {3.7568570855419,4.31751114064138}
p_values       | {0.000172060691513886,1.5779844638453e-05}
hessian        | {{2.78043065745617,-2.25848560642414},{-2.25848560642414,8.50472838284472}}
num_iterations | 5

    经过5次迭代后求得两个协变量的回归系数。z检验得到的p值很小，说明样本间的差异由抽样误差所致的概率极小，具有显著统计意义。

5. 检验所得模型的PHA

drop table if exists sample_zph_output, sample_zph_output_residual;  
select madlib.cox_zph( 'sample_cox',  
                       'sample_zph_output'  
                     );  
  
select * from sample_zph_output;

    结果：

-[ RECORD 1 ]-----------------------------------------  
covariate  | array[grp,wbc]  
rho        | {0.00237308357328641,0.037560056884043}  
chi_square | {0.000100675718191977,0.0232317400546175}  
p_value    | {0.991994376850758,0.878855984657948}

    madlib.cox\_zph函数使用卡方线性相关法检验比例风险假设是否成立。它的原理很简单：如果数据满足比例风险假设，则Schoenfeld残差和生存时间的秩次之间无相关性。计算步骤按以下3步进行：①用未删失数据计算每个协变量Schoenfeld残差；②将未删失的生存时间排序，并以新变量（协变量残差）记录秩次1、2、3...，如出现相同生存时间（结点），则以平均秩次记录。③进行假设检验，检验Schoenfeld残差和生存时间秩次间的相关性（原假设为H0：r=0，无相关性）。若原假设被拒绝，则表明数据不满足比例风险假设。

    从本例的检验p值结果看，协变量对应的双尾p值接近于1，说明应该接受原假设，模型满足比例风险假设。

6. 用模型进行预测

    本例使用源数据表演示预测。

（1）条目预测

\x off  
drop table if exists sample_pred_terms;  
select madlib.coxph_predict('sample_cox',  
                            'sample_data',  
                            'id',  
                            'sample_pred_terms',  
                            'terms');  
  
select id, terms, sum(c) linear_predictors  
  from (select id, terms, unnest(terms) c  
          from sample_pred_terms) t  
 group by id, terms  
 order by linear_predictors;

    结果：

 id |                  terms                   | linear_predictors    
----+------------------------------------------+--------------------  
  1 | {-0.848023577550848,-2.12308560369949}   |  -2.97110918125034  
  2 | {-0.848023577550848,-2.08965118474359}   |  -2.93767476229444  
  4 | {-0.848023577550848,-1.57141769092718}   |  -2.41944126847803  
  7 | {-0.848023577550848,-1.18692187293436}   |  -2.03494545048521  
  8 | {-0.848023577550848,-1.12005303502256}   |  -1.96807661257341  
  9 | {-0.848023577550848,-0.936163730765128}  |  -1.78418730831598  
  3 | {-0.848023577550848,-0.869294892853333}  |  -1.71731847040418  
 19 | {-0.848023577550848,-0.685405588595898}  |  -1.53342916614675  
  6 | {-0.848023577550848,-0.668688379117949}  |   -1.5167119566688  
  5 | {-0.848023577550848,-0.250758142169231}  |  -1.09878171972008  
 14 | {-0.848023577550848,-0.200606513735385}  |  -1.04863009128623  
 15 | {-0.848023577550848,-0.0334344189558975} | -0.881457996506746  
 16 | {-0.848023577550848,0.133737675823589}   | -0.714285901727259  
 12 | {-0.848023577550848,0.267475351647179}   | -0.580548225903669  
 13 | {1.6960471551017,-2.03949955630974}      | -0.343452401208047  
 10 | {-0.848023577550848,1.47111443405949}    |  0.623090856508639  
 11 | {1.6960471551017,-0.702122798073847}     |   0.99392435702785  
 17 | {1.6960471551017,-0.668688379117949}     |   1.02735877598375  
 21 | {1.6960471551017,-0.501516284338462}     |   1.19453087076323  
 18 | {-0.848023577550848,2.85864282072923}    |   2.01061924317838  
 20 | {1.6960471551017,1.28722512980205}       |   2.98327228490375  
 22 | {1.6960471551017,2.15652002265538}       |   3.85256717775708  
 23 | {1.6960471551017,3.66106887567077}       |   5.35711603077247  
 24 | {1.6960471551017,3.81152376097231}       |     5.507570916074  
(24 rows)

    条目预测的输出是一个协变量数组，每个元素值是对应协变量与回归系数的点积。

（2）预后指数预测

\x off  
drop table if exists sample_pred;  
select madlib.coxph_predict('sample_cox',  
                            'sample_data',  
                            'id',  
                            'sample_pred');  
  
select id, linear_predictors, exp(linear_predictors) risk  
  from sample_pred order by linear_predictors;

    结果：

 id | linear_predictors  |        risk          
----+--------------------+--------------------  
  1 |  -2.97110918125034 | 0.0512464372091503  
  2 |  -2.93767476229444 |  0.052988797150351  
  4 |  -2.41944126847803 | 0.0889713146524469  
  7 |  -2.03494545048521 |  0.130687611255372  
  8 |  -1.96807661257341 |  0.139725343898993  
  9 |  -1.78418730831598 |  0.167933483703554  
  3 |  -1.71731847040418 |  0.179546963459175  
 19 |  -1.53342916614675 |  0.215794402223054  
  6 |   -1.5167119566688 |  0.219432204682558  
  5 |  -1.09878171972008 |   0.33327686110022  
 14 |  -1.04863009128623 |  0.350417460388247  
 15 | -0.881457996506746 |  0.414178600294289  
 16 | -0.714285901727259 |  0.489541567796517  
 12 | -0.580548225903669 |  0.559591499901242  
 13 | -0.343452401208048 |  0.709317242984782  
 10 |  0.623090856508639 |   1.86468261037507  
 11 |   0.99392435702785 |   2.70181658768287  
 17 |   1.02735877598375 |   2.79367735395697  
 21 |   1.19453087076323 |   3.30200833843654  
 18 |   2.01061924317838 |   7.46794038691976  
 20 |   2.98327228490375 |   19.7523463121038  
 22 |   3.85256717775708 |   47.1138577624205  
 23 |   5.35711603077247 |   212.112338046552  
 24 |     5.507570916074 |   246.551504798816  
(24 rows)

    可以看到，1的风险度最小，24的风险度最大，并且预后指数预测的结果，就是对条目预测结果数组的元素求和而得。

（3）风险预测

drop table if exists sample_pred_risk;  
select madlib.coxph_predict('sample_cox',  
                            'sample_data',  
                            'id',  
                            'sample_pred_risk',  
                            'risk');  
  
select * from sample_pred_risk order by risk;

    结果：

 id |        risk          
----+--------------------  
  1 | 0.0512464372091503  
  2 |  0.052988797150351  
  4 | 0.0889713146524469  
  7 |  0.130687611255372  
  8 |  0.139725343898993  
  9 |  0.167933483703554  
  3 |  0.179546963459175  
 19 |  0.215794402223054  
  6 |  0.219432204682558  
  5 |   0.33327686110022  
 14 |  0.350417460388247  
 15 |  0.414178600294289  
 16 |  0.489541567796517  
 12 |  0.559591499901242  
 13 |  0.709317242984782  
 10 |   1.86468261037507  
 11 |   2.70181658768287  
 17 |   2.79367735395697  
 21 |   3.30200833843654  
 18 |   7.46794038691976  
 20 |   19.7523463121038  
 22 |   47.1138577624205  
 23 |   212.112338046552  
 24 |   246.551504798816  
(24 rows)

    可以看到，风险预测就是预后指数结果的指数值。

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原始发表：2018年02月06日，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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