《最强大脑》之四色定理—— GIS 无处不在

1.《最强大脑2019》之四色定理

四色定理知多少?

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此次国际赛一共分为五场比试,其中在4月19日国际赛的上半场,上半场的比赛中中国战队有四人参与比赛,分别是郑林凯、凡正阳、丁若虚和王易木。

郑林凯 VS 亚利桑德罗·达米科

比赛的项目是用四色定理着色泰森多边形,这场比赛中郑林凯和亚利采用策略完全不一样,郑林凯采用的是全局最优解的解法,而亚利采用的是局部最优解的解法,这场比赛最终是清华大学郑林凯无论是在时间还是目标红色块的数量上都少于对手,郑林凯赢下了漂亮的一局。

中文名:四色定理 外文名:Four color theorem 别 称:四色问题,四色猜想 提出者:格斯里(Francis Guthrie) 提出时间:1852年 应用学科:拓扑学、图论 适用领域范围:地图编辑 类 别:世界近代三大数学难题之一 引自百度百科

废话不多说,直接上图!!!

2. “四色定理”起源

时间追溯至 1976 年 6 月,在 J. Koch 的算法的支持下,美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了整整 1200 个小时,做了 100 亿次实验,结果没有一张地图邻域配色是需要五种颜色的,最终证明了四色定理,轰动了世界!至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。

四色定理又称四色猜想、四色问题,是世界近代三大数学难题之一,另外两个分别是费马定理哥德马赫猜想。这3个世界数学难题相信大家应该都不陌生吧!

地图四色定理Four color theorem)最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie)的英国大学生提出来的。

四色问题的本质

  • 任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

用数学语言表示

  • 即“将二维平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。” 这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的,因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

3. “四色定理”算法可视化

我们没有能力证明四色定理,但是我们可以假设这个定理是成立的,进而通过编程语言设计相邻图块(图斑)渲染算法。

设计思路是通过一个二维矩阵来标识面与面之间的相互关系(相邻为1或不相邻为0)

1.   A  B  C  D2.A  0  3.B  1  04.C  1  0  05.D  0  1  1  0
  • a. 先定义颜色值color为 1、2、3、4,颜色总数colorNum为4。
  • b. 获得图层要素(Layer features)个数为m,创建大小为m * m二维数组,遍历该要素的同时判断某一要素与哪些要素相邻,对相邻要素在数组中做记录。比如ij相邻,则 [i][j][j][i]均为 1,否则均为 0。
  • c. 假定此时要判断编号为i的要素赋色。从 color = 1 遍历到colorNum,通过判断相邻要素是否已经被赋予颜色,如果没有则给该color,否则(color + 1)直到合适为止。

ArcGIS中地图可视化效果如下:

正是如此才给这些地图渲染赋予了地图的生命力 赶快去下面的网址体验一波吧: http://worldmap.harvard.edu/chinamap/

4. 给大家一个关于“四色定理”相关的算法题

你的任务相对那些数学家们来说当然要容易得多:你只要编写一个程序,计算一下在给定的一张有5个区域的地图上,用四种颜色填充不同区域,并保证有公共边的区域不同色的方案数有多少就可以了。

输入输出格式

  • 输入格式: 第一行是一个整数N(0≤n≤10),分别表示地图中有公共边的区域的信息数量。 下面N行,每行一对整数,表示对所有区域编号之后,此两个编号的区域是有公共边的。
  • 输出格式: 一行,只有一个整数,表示用四种颜色填充地图的总方案数。注意,在某些方案中,所有四种颜色不必都用到。
  • 输入输出样例 输入样例: 4 1 2 1 3 1 4 1 5 输出样例: 324

请大家发挥自己聪明的大脑,打开电脑开撸吧!!! 可在留言区说说你的思路或贴出你设计的程序(下期附参考代码)。

5. 后续

仔细看文章的小伙伴会发现比赛项目是用“四色定理着色泰森多边形”,而泰森多边形也是生活中应用比较广泛的。泰森多边形可用于定性分析统计分析邻近分析等,学习过GIS的都知道泰森多边形,是地理信息中的经典理论数学模型。在这里不聊太多……

先给大家发个图尝尝鲜吧,嘿嘿!

GIS 无处不在 ——《最强大脑》之泰森多边形我们下期见!

原文发布于微信公众号 - AiSmart4J(smart4j)

原文发表时间:2019-06-22

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