动态规划怎么用？
动态规划应该用于最优化问题
最优化问题指的是，解决一个问题可能有多种可行的值来解决问题，但是我们需要一个最优的（最大或者最小）值
动态规划适用于子问题不是独立的情况，即各个子问题之间包含公共的子问题。动态规划对每个子问题只计算一次，保存其计算结果到"一张表",重复利用，从而优化执行。
分治法则是把一个大的问题划分成一些独立的子问题，递归求解子问题的情况；贪心算法则是会先选择当时看起来是最优的选择，然后再求解一个结果的子问题
如何使用动态规划
fib(n):
if n<=2:f=1;
else: f= fib(n-1)+fib(n-2);
return f;
复制代码可以简要分析下这个执行过程：要去求解 fib(n)，首先要知道fib(n-1)和fib(n-2),要计算fib(n-1)则需要知道fib(n-2)和fib(n-3)，要计算fib(n-2)则需要知道fib(n-3)和fib(n-4)，依此类推。
很明显可以看到：如果计算出了fib(n-1)的子问题和fib(n-2)的子问题存在依赖性，要计算fib(n-1)必然要计算fib(n-2)；同时如果复用了fib(n-2)那么当计算fib(n-1)就非常简单，直接相加即可。这也就是复用子问题处理结果。
fib(n):
memo={}
if n in memo:return memo[n];
if n<=2:f=1;
else f=fib(n-1)+fib(n-2);
memo[n]=f;
return f;
复制代码
int fib(int n){
if(n<=2){
return 1;
}
int f1=1,f2=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
int f=f1+f2;
f1=f2;
f2=f;
}
return f2;
}
复制代码
这种计算方式，它实际上是相当于进行了拓扑排序，即我只有先执行完fib(n-2)，再执行fib(n-1)，然后才执行fib(n)
分析下来可以发现：
拓扑排序
斐波那契数列中的拓扑排序，它本质上类似拓扑排序的DAG最短路径
要获取它的最短路径，过程如下
每条边都访问了一遍，然后初始化了每个顶点的值，它的运行时间为O(V+E)
计算过程可以看到:
一般的图拓扑排序为
对于DAG：
indegree(t):入度数也就是类似(u,t)边的数量，需要去遍历所有t的入边
O(1):判断是不是有入边
总共的执行时间为
解决图中有环的时候求最短路径的问题
所需要的展开层数为：|V|-1 对于求最短路径来讲，最长不能超过|V|-1，否则就是成环，会造成循环的情况（从0开始的计数），这就是为什么Bellman-Ford的外层循环是 |V|-1
从斐波那契和最短路径的例子看出，要使用最短路径，需要确保子问题之间是互相依赖的，这样能够重复利用子问题产生的结果，而要去重复利用子问题，那首要条件是找到子问题是什么？然后在多个子问题之间选择最优的结果，并按照拓扑排序的顺序进行计算
使用动态规划的一般步骤是什么？
- 定义子问题 ：一般来讲子可以从输入条件来寻找，如果输入条件少了一项，我解决这个问题的方式会发生改变吗？如果不会，那么它基本就是子问题
计算子问题的数量
- 思考：明确要去尝试所有可能方式，选取最好的一个。选取中要思考
- 获取到的输入项是否应该被选入子问题的结果之中？
- 有什么途径能够使子问题扩展到原有的问题？
- 子问题要计算原有的问题，增加了什么变化的因素？
计算选择的数量
- 关联所有的子问题：根据思考得到父子问题的关联关系
计算单个子问题所需要处理的时间
- 重用子问题结果并记下新的结果
计算总耗时
最终解决原有的问题，它消耗的时间为： 子问题的数量 * 每个子问题处理所需要时间
总的来说就是：尝试所有可能的子问题的结果，将最好的可能子结果存储下来，然后重复利用已经解决的子问题，递归去解决所有的问题(思考+记忆+递归)
一定要用动态规划吗？
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。比如
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
复制代码乍看之下，要求连续最大和，首先得计算出子串的最大和，才能去计算原始数组的最大和，也就是说
- 子问题是：子数组的最大和
- 依赖关系：dp(i)=max(i,i+dp(i-1)),增加了一个新的元素扩展子问题，得到原问题，然后从扩展的结果和原有的结果中取获取一个最优解
- dp(i-1)是可以重用的
public int maxSubArray(int[] nums) {
int max=Integer.MIN_VALUE;
Map<Integer,Integer> mem=new HashMap<>();
for(int i=0;i<nums.length;i++){
//按照一定顺序执行
int v=dp(i,nums,mem);
if(v>max){
max=v;
}
}
return max;
}
public int dp(int i,int[] nums,Map<Integer,Integer> mem){
Integer v=mem.get(i);
if(v!=null){
//重用子问题的结果
return v;
}
int sum = nums[i];
if(i==nums.length-1){
mem.put(i,sum);
return sum;
}
//先计算子问题
int cSum = dp(i+1,nums,mem);
int tempV = sum+cSum;
//明确父子问题之间的关系，存储新的子问题结果
if(tempV<sum){
mem.put(i,sum);
return sum;
}
mem.put(i,tempV);
return tempV;
}
复制代码分析可以看到，它的执行为需要遍历一遍整个的数组，然后要去计算的子问题包括 n-1,n-2,..,1，耗时为 O(n+n-1)=O(2n)=O(n)，同时需要一个O(n)的空间存储。
public int maxSubArray(int[] nums) {
int max=nums[0];
int currMax=nums[0];
for(int i=1;i<nums.length;i++){
int temp=nums[i]+currMax;
if(temp>nums[i]){
currMax=temp;
}else{
currMax=nums[i];
}
if(max<currMax){
max=currMax;
}
}
return max;
}
复制代码通过这种方式，使用的空间为O(1),时间就是O(n)。 由此可见动态规划本身只是一种解决问题的思想，并不是说动态规划得到的最优解就是解决问题的最佳方案
腾讯云开发者
