分治算法

概述

在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题,直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。 任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。

分治策略

对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。 如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

  1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
  2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
  3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
  4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加; 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;、 第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。 第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。

分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤: 1.divide(分解):将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题; 2 conquer(求解):若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题 3 Combine(组合):将各个子问题的解合并为原问题的解。

算法举例

回文

这里的回文是指资格字符串,它从头到尾读与从尾到头读的内容是一致的,比如说doggod,无论从左到右耗时从右到左都是一样的。

    def isPal(s):
        if len(s) <= 1:
            return True
        else:
            return s[0]==s[-1] and isPal(s[1:-1])
     
    s = 'doggod'
    result = isPal(s)
    print result
二分查找

二分查找的思路比较简单: 1) 选择一个标志i将集合分为二个子集合 2) 判断标志L(i)是否能与要查找的值des相等,相等则直接返回 3) 否则判断L(i)与des的大小 4) 基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找 5) 递归记性上面的步骤

    def binarySearch(L,e,low,high):
        if high == low:
            return L[low] == e 
        mid = (low+high)//2
        if L[mid]==e:
            return True
        elif L[mid]>e:
            if low == mid:
                return False
            else:
                return binarySearch(L,e,low, mid-1)
        else:
            return binarySearch(L,e,mid+1,high)
     
    def search(L,e):
        result = binarySearch(L,e,0,len(L)-1)
        print result   
     
    L = range(10);
    e = 7
     
    search(L,e)    
大整数乘法

图片.png

大整数从高位到低位,被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A,低位部分是B;整数2的高位部分是C,低位部分是D,那么有如下等式:

image

如果把大整数的长度抽象为n,那么:

image

因此,整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式:

image

如此一来,原本长度为****n****的大整数的****1次****乘积,被转化成了长度为****n/2****的大整数的****4次****乘积(AC,AD,BC,BD)。

(3)Strassen矩阵乘法 (4)棋盘覆盖 (5)合并排序 (6)快速排序 (7)线性时间选择 (8)最接近点对问题 (9)循环赛日程表 (10)汉诺塔

master theorem

master定理的英语名称是master theorem,它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。 设常数a >= 1,b > 1,如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n),那么则有如下规律:

image

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